Знайдіть сьомий член геометричної прогресії з додатнім знаком якщо її 3 і 5 член відповідно дорівнюють -32 і -8​

Рассмотрим сначала числа со старшим разрядом единиц
(в обратном порядке):

       сумма количества цифр: 1 + 2 = 3 , количество цифр у квадрата числа вдвое больше количества цифр исходного числа.

       искомая сумма: 1 + 2 = 3 , количество цифр у квадрата числа всё так же вдвое больше количества цифр исходного.

       искомая сумма: 1 + 1 = 2 , количество цифр у квадрата равно количеству цифр исходного.

       искомая сумма: 1 + 1 = 2 , количество у квадрата равно количеству цифр исходного.

Теперь переходим к старшему разряду десятков
(в обратном порядке):

       сумма: 2 + 4 = 6 , количество цифр у квадрата вдвое больше количества цифр исходного.

       сумма: 2 + 4 = 6 , цифр у квадрата всё так же вдвое больше количества цифр исходного.

       сумма: 2 + 3 = 5 , цифр у квадрата числа: 3 = 4–1 .

       сумма: 2 + 3 = 5 , цифр у квадрата: 3 = 4–1 .

Далее переходим к старшему разряду сотен
(в обратном порядке):

       сумма: 3 + 6 = 9 , цифр у квадрата вдвое больше.

       сумма: 3 + 6 = 9 , цифр у квадрата вдвое больше.

       сумма: 3 + 5 = 8 , цифр у квадрата числа: 5 = 3*2–1 .

       сумма: 3 + 5 = 8 , цифр у квадрата числа: 5 = 3*2–1 .

Ну и ещё переходим к старшему разряду тысяч
(в обратном порядке):

       сумма: 4 + 8 = 12 , у квадрата вдвое больше.

       сумма: 4 + 8 = 12 , у квадрата вдвое больше.

       сумма: 4 + 7 = 11 , цифр у квадрата: 7 = 4*2–1 .

       сумма: 4 + 7 = 11 , цифр у квадрата: 7 = 4*2–1 .

А теперь всё обобщим на самый общий случай.

Если бы число записывалось единицей с R нолями, то его квадрат содержал бы уже 2R нолей, при этом в исходном числе было бы (R+1) цифр, а в квадрате числа – (2R+1) цифр.

Пусть у нас старший разряд таков, что во всём числе только R цифр, рассмотрим всё, как обычно в обратном порядке:

(  99999 : : : R цифр : : : 99999  )   –   это число на единицу меньше, чем число     (  100000 : : : R нулей : : : 00000  )     , в котором (R+1) цифр.

квадрат числа [(  99999 : : : R цифр : : : 99999  )]    –   это число, меньшее, чем число     (  100000 : : : 2R нулей : : : 00000  )     , в котором (2R+1) цифр.

Значит, квадрат числа (  99999 : : : R цифр : : : 99999  ) содержит ровно 2R цифр, а всего само число и его квадрат содержат 3R цифр.

в числе (  400000 : : : (R–1) нулей : : : 00000  )  содержится R цифр.

квадрат числа [(  400000 : : : (R–1) нулей : : : 00000  )]  =
=  (  1600000 : : : (2R–2) нулей : : : 00000  )  содержит 2R цифр, а всего само число и его квадрат содержат 3R цифр.

в числе (  300000 : : : (R–1) нулей : : : 00000  )  содержится R цифр.

квадрат числа [(  300000 : : : (R–1) нулей : : : 00000  )]  =
=  (  900000 : : : (2R–2) нулей : : : 00000  )  содержит (2R–1) цифр, а всего само число и его квадрат содержат (3R–1) цифр.

в числе (  100000 : : : (R–1) нулей : : : 00000  )  содержится R цифр.

квадрат числа [(  100000 : : : (R–1) нулей : : : 00000  )]  =
=  (  100000 : : : (2R–2) нулей : : : 00000  )  содержит (2R–1) цифр, а всего само число и его квадрат содержат (3R–1) цифр.

И так будет для любого R

R = 1   : : :  сумма: 3R = 3 или (3R–1) = 2 .
R = 2   : : :  сумма: 3R = 6 или (3R–1) = 5 .
R = 3   : : :  сумма: 3R = 9 или (3R–1) = 8 .
R = 4   : : :  сумма: 3R = 12 или (3R–1) = 11 .
R = 5   : : :  сумма: 3R = 15 или (3R–1) = 14 .

  . . .

R = 32   : : :  сумма: 3R = 96 или (3R–1) = 95 .
R = 33   : : :  сумма: 3R = 99 или (3R–1) = 98 .
R = 34   : : :  сумма: 3R = 102 или (3R–1) = 101 .
R = 35   : : :  сумма: 3R = 105 или (3R–1) = 104 .

... и т.д и т.п. ...

Как легко видеть, в этой последовательности:

2, 3,  5, 6,  8, 9,  11, 12,  14, 15 .... 95, 96,  98, 99,  101, 102,  104, 105 ....

пропущены определённые числа. Пропущенные числа:

1, 4, 7, 10, 13, 16 .... 94, 97, 100, 103, 106 ....

подчиняются закону (3R+1).

В самом деле, между предыдущим и последующим значениями, кратными трём, всегда содержатся два целые числа, а искомой суммой, помимо 3R, может быть только одно из них: (3R–1) .

Поэтому, значения, подчиняющиеся закону (3R+1) не могут быть искомым результатом. Так, например, число 99 – кратно трём ( 99 = 3*33 ), а значит, число   100 = 3*33+1   никак не могло бы оказаться в расчётах Лены.

О т в е т : у Лены не могли получиться результаты, подчиняющиеся закону (3R+1) , где R – какое угодно целое число.

ну и, конечно, все результаты Лены могут быть только положительными, поскольку это количества, т.е. натуральные величины.

в частности, у неё не могло получиться число 100.

Решение
1) Проведём сечение через высоту и апофему пирамиды. Это сечение представляет из себя прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна апофеме l, катет, лежащий в основании будет являться радиусом вписанной в шестиугольник окружности r = a√3/2, где а = √3. Второй катет является высотой пирамиды h = 2.
Найдём r = (√3*√3)/2 = 3/2 = 1,5
По теореме Пифагора находим апофему пирамиды:
l = √(h² + r²) = √(4 + 1,5²) = √6,25 = 2,5
ответ: 2,5
2)  По условию задачи, через 5 минут после начала опыта масса изотопа стала равна 120 мг. Значит значит время от начала
 момента будет (t -5) мин.
Решим неравенство:
120 * 2^(-(t - 5)/12) ≤ 7,5
2^(-(t - 5)/12) ≤ 7,5/120
2^(-(t - 5)/12) ≤ 0,0625
2^(-(t - 5)/12) ≤ 2⁻⁴
-(t - 5) / 12 ≤ - 4
t - 5 ≤ 4*12
t ≤ 48 + 5
t ≤ 53 (мин)
ответ: t ≤ 53 (мин)