Сумма катетов прямоугольного треугольника равна 18 см. Найди длины катетов этого треугольника, при которых площадь треугольника будет наибольшей. Катеты треугольника должны быть равны см и см (Пиши длины сторон в возрастающей последовательности Максимальная площадь равна см².

Прямоугольный треугольник равнобедренный! Катеты равны 9 см.

Объяснение:

Обозначим через х см длину одного из катетов, тогда длинна второго катета: (18-х) см.

Площадь прямоугольного треугольника S равна:

S=a*b/2, где

а, b - катеты данного треугольника.

Запишем функцию S(x) - зависимости площади треугольника от длинны его катетов:

S(x)=x*(18-x)/2;

S(x)= -0.5x^2+9x

Возможно эта функция имеет максимум! Попытаемся его найти.

Действия стандартные:

1. На всякий случай ищем область определения.

У нас имеется квадртный трехчлен, значит без сюрпризов:

x ∈ ]-∞; +∞[.

2. Ищем экстремум функции. Для чего находим производную функции, и приравниваем ее к 0:

S'(x)= (-0.5x^2+9x)'= -0.5*2*x+9= -x+9;

S'(x)=0;

-x+9=0;

x=9.

Экстремум у функции есть, и он всего один! Определяем, что это - максимум или минимум. Определим, как меняется знак производной при переходе через точку экстремума. Хоршо, что область определения у нас - вся ось абсцисс, а т.к. и экстремум всего один, то мы смело берем любое число слева от абсциссы экстремума:

х=0 (0 левее 9);

S'(0)= -0.5*2*0+9= 9;

Теперь берем любое число правее х=9:

х=10;

S'(10)= -0.5*2*10+9= -10+9= -1;

Т.о. при перехде через ноль производная меняет знак с "+" на "-". Следовательно наш экстремум - максимум!

Имеем максимум площади при длине одного катета 9 см, длина второго катета (18-х)=18-9=9 см.

Прямоугольный треугольник равнобедренный!

Прощу прощения за задержку.
Разложить на множители, это означает упростить данное выражение. 
В данном выражении, мы можем увидеть общие множители abc .
Можно конечно разложить так:

abc(27a²bc⁴-36ab³c²) - но как можно заметить, выражение в скобках можно упростить тоже.
Поэтому не имеет смысла несколько раз упрощать и упрощать.
Поступаем так:
Находим минимальную степень а, b и с.
И получаем, что можно упростить так:

Можем так же заметить что 27 и 36 делятся на 9.
А значит имеем право упростить еще :

Это и будет окончательный ответ. Мы разложили на множители, и если перемножить скобки, получим начальное выражение :)

Если что то не понятно, задайте вопрос в комментарии :)

f(x) = 4|x| - x²

1. D(f) = R - симметрична относительно 0.

2. f(-x) = 4|-x| - (-x)² = 4|x| - x² = = f(x),

по определению f(x) - чётнвя.

График чётной функции симметричен относительно оси Оу.

3. Построим часть графика для х ≥ 0, а затем отобразим построенную часть симметрично относительно оси Оу.

f(x) = 4x - x² - квадратичная, графиком является парабола, ветви направлены вниз, т.к. а = - 1, а<0.

х вершины = - b/(2a) = -4/(-2) = 2;

у вершины = 4•2 - 2² = 4;

(2;4) - вершина параболы.

Найдём нули функции:

4x - x² = 0

- х (х - 4) = 0

х = 0 или х = 4

(0;0) и (4;0) - точки пересечения с осью Ох.

Изображение графика смотрите в прикреплённом чертеже.