Буду благодарен, если выполните с пояснениями

F(x)= ∫ f(x) = ∫2*x^(1/2) d(x) = 2 ∫x^(1/2) d(x) =

( ∫ x^n d(x) = (x^(n+1))/ (n+1))

Т.к. F(0)= 7/8

0+c =7/8

Следовательно c =7/8

ответ: F(x) = 4/3x^(3/2) + 7/8

f(x) = x³ - 3x      [0 , 2]

Найдём производную :

f'(x) = (x³)' - 3(x)' = 3x² - 3

Найдём нули производной :

3x² - 3 = 0

3(x² - 1) = 0

x² - 1 = 0

x₁ = - 1      x₂ = 1

Только x = 1 ∈ [0 ; 2]

Определим знаки производной на отрезке [0 , 2] :

                               -                       +

[0][1][2]

                                         min

В точке x = 1 функция имеет минимум, который является наименьшим значением на заданном отрезке. Найдём это наименьшее значение :

f(1) = 1³ - 3 * 1 = 1 - 3 = - 2

Найдём значения функции на концах отрезка :

f(0) = 0³ - 3 * 0 = 0

f(2) = 2³ - 3 * 2 = 8 - 6 = 2

ответ : наименьшее значение равно - 2 ,  а наибольшее равно 2 .

S(t)=t^3-4t^2+5

v(t)=S'(t)=3t^2-8t

a(t)=S''(t)=6t-8

Для момента времени t=2с

v(2)=3×4-8×2=-4

a(2)=6×2-8=4

ответ: v(2) = - 4 ; a(2) = 4 .

Для нахождения экстремумов функции

f(x)=4x^2-x^4​ найдем производную.

f'(x)=8x-4x^3

Приравняем к нулю и найденные корни уравнения и дадут нам координаты по Ox точек экстремумов функции.

f'(x)=8x-4x^3=0

4x(2-x^2)=0

4x=0; 2-x^2=0; x^2=2 ;

x1 = 0 ;

x2 = - sqrt2 ;

x3 = sqrt2 ;

В точках

x1 = 0 ;

x2 = - sqrt2 ;

x3 = sqrt2 ;

функция f(x)=4x^2-x^4​ имеет свои экстремумы и в этих точках её значения :

y1=f(x1)=0 ;

y2=f(x2)=8-4​=4 ;

y3=f(x3)=8-4=4 .