. (7-k)(7+k)+(k+3), npn k = -0, 5​

1)  У числа n три различных простых делителя.

У числа 11n тоже три делителя.

Значит, один из делителей числа n равен 11.

n = 11 · х · у

2)  У числа 6n ровно 4 различных простых делителя.

Учитывая, что 6 = 2 · 3

получаем:

6n = 11 · 2 · у · 3

По условию все простые делители должны быть различными.

Значит, у ≠ 2

            у ≠ 3

             у ≠ 11

С учетом этого наименьшим из множества простых чисел будет

число 5.

Получаем у = 5    

Наименьшее число 6n = 2 · 3 · 5 · 11 = 330

3)  У числа n обязательно будут делители 5 и 11, а из делителей 2 и 3   выбираем наименьший делитель 2 и получаем:

n =  2 · 5 · 11 = 110

1 + 1 + 0 = 2  - это и есть сумма цифр наименьшего числа n = 110.

ответ: 2

 Если  у  данного  уравнения существуют два различных натуральных корня X1 и X2 , то   их  сумма и произведение -  тоже натуральные числа.  тогда  по теореме Виета:



,    где   n1  -   нат. число.  Тогда


Правая часть данного равенства делится на a,  значит и левая должна тоже делиться на a.  Слева имеем сумму двух слагаемых,  чтобы это сумма делилась на a,  надо чтобы оба слагаемых делились на a.

3a  делится на а,  и 5 должно делиться на а.  Т.о.  а∈{ -5, -1, 1, 5}.
 
Подставляем поочередно эти  значения а  в  выражение  .



Т.о.  натуральное значение  выражение принимает при а=-5,  а=-1 и а=5.
По  т.Виета 
Проверим при каких из этих значений сумма корней исходного уравнения будет  натуральным числом:



Итак, уравнение может иметь два различных натуральных корня только при  a=5.  Проверим  будут ли этом значении  а  корни исходного уравнения натуральными числами.  
При   a=5.  уравнение примет вид:  
 
значит корни будут иррациональными.

ответ:  ∅.