Желательно 2 примерчика с обьяснением =) a) 2 1 x+1 - - x^2 - 3x x^2 + 3x x^2 - 9 б) 2y + 1 y+2 1 + - y^2+3y 3y - y^2 y в) a^2 + 16a +12 2 - 3a 3 - - a^3 - 8 a^2 + 2a + 4 a - 2 г) 2 4b^2 + 18 1 + _ 4b^2 - 6b + 9 8b^3 + 27 2b + 3 ну вот и всё пока что : d

для выражений необходимо уметь применять формулы сокращенного

a) 

      2             1                     x+1

- -  

x^2 - 3x     x^2 + 3x             x^2 - 9     здесь в знаменателе формула разность квадратов.

(x^2 - 3x)*(x^2 + 3x)=x^4 - 9х^2 т.о. необходимо к общему знаменателю, умножив и разведив дробь на недостающу часть.

    2          

  здесь дополнительнфй множитель  (x^2 + 3x)

x^2 - 3x  

      1              

    здесь дополнительный множитель  (x^2 - 3x)

  x^2 + 3x  

 

получается

2(x^2 + 3x)-1(x^2 - 3x)  -     x+1       = 2x^2+6x-x^2+3x  -     x+1       =  x^2+9x-x^2(x+1)=

x^4 - 9х^2                           x^2 - 9     x^2(x^2-9)               x^2-9         x^2(x^2-9)

 

x^2+9x-x^3-x^2 = -x(x^2-9)    =  -x       = -1/x

x^2(x^2-9)             x^2(x^2-9)       x^2

 

б)

2y + 1    +           y+2       -       1 = (в знаменателе выводим у за скобки,                          

y^2+3y         3y - y^2         y                           (у+3)(3-у)=9-у^2      )

 

=  (2y+1)(3-y) +(y+2)(3+-y^2) =  6y+3-2y^2-y+3y+6+y^2+2y-9+y^2 =

    y(y+3)(3+y)                                         y(9-y^2)

      10y     =       10  

    y(9-y^2)       9-y^2

 

в следующих двух выражения применяется формула сокращенного умножения разность и сумма кубов.

в) 

a^2 + 16a +12  -     2 - 3a         -     3  = 

    a^3 - 8           a^2 + 2a + 4   a - 2

 

a^3 - 8=(a - 2)(  a^2 + 2a + 4)  опираясь на эту формулу, приводим дроби к общему знаменателю

(a^2 + 16a + - 3a)(a - 2)-3( a^2 + 2a + 4)= a^+16a+12-2a+3a^2+4-6a-3a^-6a-12

          ( a^2 + 2a + 4)(a - 2)                                         ( a^2 + 2a + 4)(a - 2) 

 

=a^2-2a                       = a(a-2)                         =           a          

    ( a^2 + 2a + 4)(a - 2)       ( a^2 + 2a + 4)(a - 2)     a^2 + 2a + 4

 

г) 

          2         + 4b^2 + 18   -      1    

4b^2 - 6b + 9   8b^3 + 27       2b + 3

 

8b^3 + 27=(4b^2 - 6b + 9)(2b + 3)

 

= 2(2b + 3)+4b^2 + 18 - (4b^2 - 6b + 9) =4b+6+4b^2+18-4b^2+6b-9 = 10b+15 =

    (4b^2 - 6b + 9)(2b + 3)                      (4b^2-6b+9)(2b + 3)           (4b^2-6b+9)(2b+3)    

  =       5          

    4b^2-6b+9

1)  ax  +  4a  -  2x  -  8 2)  6b  +  12  -  b^2  -  2b  =  12  -  b^2  +  4b 3)  ax  -  7x  +  2a  -  14 4)  6y  -  15  -  6y^2  +  15y 5)  3a^2  -  2a  +  12a  -  8  =  3a^2  +  10a  -  8 1)  (3x^2  +  5)(6x^2  -  1)  =  18x^4  -  3x^2  +  30x^2  -  5  =  18x^4  +  27x^2  -  5 2)  (3c^2  -  2c  +  4  (c  -  2)  =  3c^3  -  6c^2  -  2c^2  +  4c  +  4c  -  8  =  =  3c^3  -  8c^2  +  8c  -  8 3)  (y^2  -  5)(y^2  +  5)  =  y^4  -  25 4)  (a  +  4)(a^2  -  9a  -  3)  =  a^3  -  9a^2  -  3a  +  4a^2  -  36a  -  12  =  =  a^3  -  5a^2  -  39a  -  12 5)  (x^2  +  4)(x  -  3)  =  x^3  -  3x^2  +  4x  -  12

1) найдите точку минимума функции у = х³ - 2х² + х - 2

находим производную функции, как производную суммы:   ( u + v )' = u' + v' . и приравниваем его к нулю, так как в экстремумах производная равна нулю.

у' = ( х³ - 2х² + х - 2 )' = ( х³ )' - ( 2х² )' + ( х )' - ( 2 )' = 3х² - 4х + 1 у' = 0   ⇒   3х² - 4х + 1 = 0 d = (-4)² - 4•3•1 = 16 - 12 = 4 = 2² x₁ = ( 4 - 2 )/6 = 2/6 = 1/3 x₂ = ( 4 + 2 )/6 = 6/6 = 1 y'   +++++++[ 1/3 1 ]+++++++++> x y   __↑__[ x (max) ]__↓__[ x (min) ]__↑__> x значит, точка минимума   ⇒   х = 1 ответ: 1 2)   найдите точку максимума функции   у = 9 - 4х + 4х² - х³ у' = - 4 + 8х - 3х²   ;   у' = 0 - 4 + 8x - 3х² = 0 3x² - 8x + 4 = 0 d = (-8)² - 4•3•4 = 64 - 48 = 16 = 4² x₁ = ( 8 - 4 )/6 = 4/6 = 2/3 x₂ = ( 8 + 4 )/6 = 12/6 = 2 y'   2/3 ]++++++++++[ 2 > x y   __↓__[ x (min) ]__↑__[ x (max) ]__↓__> x значит, точка максимума ⇒   х = 2 ответ: 2 3)   найдите точку минимума функции   у = х³ - 3,5х² + 2х - 3 у' = 3х² - 7х + 2   ;   у' = 0   ⇒ 3х²- 7х + 2 = 0 d = (-7)² - 4•3•2 = 49 - 24 = 25 = 5² x₁ = ( 7 - 5 )/6 = 2/6 = 1/3 x₂ = ( 7 + 5 )/6 = 12/6 = 2 y'   +++++++[ 1/3 2 ]+++++++++> x y   __↑__[ x (max) ]__↓__[ x (min) ]__↑__> x значит, точка минимума   ⇒   х = 2 ответ: 2 4)   найдите точку максимума функции   у = х³ + х² - 8х - 7 у' = 3х² + 2х - 8   ;   у' = 0   ⇒ 3х² + 2х - 8 = 0 d = 2² - 4•3•(-8) = 4 + 96 = 100 = 10² x₁ = ( - 2 - 10 )/6 = - 12/6 = - 2 x₂ = ( - 2 + 10 )/6 = 8/6 = 4/3 y'   ++++++++++[ - 2 4/3 ]+++++++> x y   ↑ x (max) ]__↓__[ x (min) ]__↑__> x значит, точка максимума   ⇒   х = - 2 ответ: - 2 5)   найдите точку минимума функции   у = х³ - 4х² - 3х - 12 у' = 3х² - 8х - 3   ;   у' = 0   ⇒ 3х² - 8х - 3 = 0 d = (-8)²- 4•3•(-3) = 64 + 36 = 100 = 10² x₁ = ( 8 - 10 )/6 = - 2/6 = - 1/3 x₂ = ( 8 + 10 )/6 = 18/6 = 3 y'   ++++++++[ - 1/3 3 ]++++++++> x y   ↑__[ x (max) ]__↓__[ x (min) ]__↑__> x значит, точка минимума   ⇒   х = 3 ответ: 3 6)   найдите точку максимума функции   у = х³ + 8х² + 16х + 3 у' = 3х² + 16х + 16   ;   у' = 0   ⇒ 3х² + 16х + 16 = 0 d = 16² - 4•3•16 = 16•( 16 - 12 ) = 16•4 = 4²•2² = 8² x₁ = ( - 16 - 8 )/6 = - 24/6 = - 4 x₂ = ( - 16 + 8 )/6 = - 8/6 = - 4/3 y'   ++++++++[ - 4 - 4/3 ]++++++++> x y   __↑__[ x (max) ]__↓__[ x (min) ]__↑> x значит, точка максимума   ⇒   х = - 4 ответ: - 4 7)   найдите точку минимума функции   у = х³ + х² - 16х + 5 у' = 3х² + 2х - 16   ;   у' = 0   ⇒ 3х² + 2х - 16 = 0 d = 2² - 4•3•(-16) = 4•( 1 + 48 ) = 4•49 = 2²•7² = 14² x₁ = ( - 2 - 14 )/6 = - 16/6 = - 8/3 x₂ = ( - 2 + 14 )/6 = 12/6 = 2 y'   ++++++[ - 8/3 2 ]++++++++++> x y   __↑__[ x (max) ]__↓__[ x (min) ]__↑> x значит, точка минимума   ⇒   х = 2 ответ: 2 8)   найдите точку максимума функции   у = х³ + 4х² + 4х + 4 у' = 3х² + 8х + 4   ;   у' = 0   ⇒ 3х² + 8х + 4 = 0 d = 8² - 4•3•4 = 64 - 48 = 16 = 4² x₁ = ( - 8 - 4 )/6 = - 12/6 = - 2 x₂ = ( - 8 + 4 )/6 = - 4/6 = - 2/3 y'   ++++++[ - 2 - 2/3 ]++++++++++> x y   __↑__[ x (max) ]__↓__[ x (min) ]__↑> x значит, точка максимума   ⇒   х = - 2 ответ: - 2 9)   найдите точку минимума функции   у = х³ - 4х² - 8х + 8 у' = 3х² - 8х - 8   ;   у' = 0   ⇒ 3х² - 8х - 8 = 0 d = (-8)² - 4•3•(-8) = 64 + 96 = 160 = (4√10)² x₁ = ( 8 - 4√10 )/6 = (4 - 2√10)/3 x₂ = ( 8 + 4√10 )/6 = (4 + 2√10)/3 y'   +++++[ (4-2√10)/3 (4+2√10)/3 ]+++++++> x y   ↑__[ x (max) ↓ x (min) ↑> x значит, точка минимума   ⇒   х = (4+2√10)/3 ответ: (4+2√10)/3 10)   найдите точку максимума функции   у = х³ + 5х² + 3х + 2 у' = 3х² + 10х + 3   ;   у' = 0   ⇒ 3х² + 10х + 3 = 0 d = 10² - 4•3•3 = 100 - 36 = 64 = 8² x₁ = ( - 10 - 8 )/6 = - 18/6 = - 3 x₂ = ( - 10 + 8 )/6 = - 2/6 = - 1/3 y'   +++++++[ - 3 - 1/3 ]++++++++> x y   __↑__[ x (max) ]__↓__[ x (min) ]__↓__> x значит, точка максимума   ⇒   х = - 3 ответ: - 3