самостоятельная по алгебре. ОЧЕНЬ

 Ортогональной проекцией ромба ABCD на плоскость, проходящую через вершину А ромба и параллельную его диагонали BD, является квадрат AB1C1D1 со стороной а. Найдите периметр ромба, если его диагональ АС равна m.
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
Плоскость  обозначаем  α  ,  известно   A ∈ α  и   α ||  BD .
Cторона ромба обозначаем через  x , периметр P ромба будет : P= 4x.
Известно :  4x² =AC² + BD²
(сумма квадратов диагоналей равно сумме квадратов сторон)
 √(4x²) =√(AC² +BD²) ⇔2x =√(AC² +BD²) =√(m² +BD²) ;
4x =2√(m² +BD²) ; остается определить  диагональ BD .
По условию задачи  A ∈ α   и  α  | | BD ⇒ BD =B₁D₁  
(BB₁D₁D  -прямоугольник :   BB₁ ⊥ α , DD₁ ⊥ α  BD  | | α  ) 
AB₁C₁D₁  квадрат со стороной  a , значит : B₁D₁² =AC₁² =a²+a²=2a²  ,  
с другой стороны  плоскость α || BD ⇒ BD =B₁D₁⇔ те BD² =B₁D₁² =2a².

Окончательно P = 4x =2√(m² +BD²) = 2√(m² +2a²) .

ответ :  P = 2√(m² +2a²) .

Докажем методом математической индукции:
1) Для n = 1 (базис индукции)
1/1(1 + 1) = 1/(1 + 1)
1/2 = 1/2

2) Пусть n = k равенство (1) выполняется:
1/1•2 + 1/2•3 + 1/3•4 + ... + 1/k(k + 1) = k/(k + 1)

3) Докажем теперь, что при n = k + 1 равенство выполняется (шаг индукции):
1/1•2 + 1/2•3 + 1/3•4 + ... + 1/k(k + 1) + 1/(k + 1)(k + 2) = (k + 1)/(k + 2)

1/1•2 + 1/2•3 + 1/3•4 + ... + 1/k(k + 1) = (k + 1)/( k + 2) - 1(/k + 1)( k + 2)

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю:
(k + 1)² - 1/(k + 1)(k + 2) = (k² + 2k + 1 - 1)/(k + 1)(k + 2) = (k² + 2k)/(k + 1)(k + 2) = k(k + 2)/(k + 1)(k + 2) = k/(k + 1)
Теперь запишем то, что должно получиться:

1/1•2 + 1/2•3 + 1/3•4 + ... + 1/k(k + 1) = k/(k + 1)
Мы пришли к равенству (1), которое предполагало, что при n = k данное равенство верно, значит, при любом натуральном n равенство верно. Доказано.