Преобразование целого выражения в многочлен x^3-y^3= 8-b^3= 1-216m^3= m^3+n^3= 27\64a^9+b^3

Разложите на множители 1. 27-x3 2. a3+64 3. 8x3-y3 4. 216-m3n3

Задание

Задание

Разложите на множители

1. 27-x3

2. a3+64

3. 8x3-y3

4. 216-m3n3

ответ

1. 27 - x³ = (3 - x)(9 + 3x + x²) 2. a³ + 64 = (a + 4)(a² - 4a + 16) 3. 8x³ - y³ = (2x - y)(4x² + 2xy +y²) 4. 216 - m³n³ = (6 - mn)(36 + 6mn + m²n²)

1) Вспоминаем и (или) выводим формулы
sin (pi + 2a) = -sin 2a
sin 3a = sin(2a + a) = sin 2a*cos a + cos 2a*sin a =
= 2sin a*cos a*cos a + (1 - 2sin^2 a)*sin a =
= sin a*(2cos^2 a - 2sin^2 a + 1) = sin a*(2 - 2sin^2 a - 2sin^2 a + 1)
Получаем
sin 3a = sin a*(3 - 4sin^2 a)
Аналогично
cos 3a = cos a*(4cos^2 a - 3)
Подставляем
(sin a*(1 - 3 + 4sin^2 a)) / (cos a*(1 - 4cos^2 a + 3)) + cos 2a / sin 2a =
= tg a*(4sin^2 a - 2) / (4 - 4cos^2 a) + ctg 2a = -2tg a/(4sin^2 a)*cos 2a + ctg 2a =
= ctg 2a - sin a/cos a*cos 2a/(2sin^2 a) = ctg 2a - cos 2a/(cos a*2sin a) =
= ctg 2a - cos 2a/sin 2a = ctg 2a - ctg 2a = 0

2) У вас опечатка. Вместо = cos(3pi + 2a) должно быть + cos(3pi + 2a)
Числитель
sin^4 a + 2sin a*cos a - cos^4 a = sin^4 a - cos^4 a + sin 2a =
= (sin^2 a + cos^2 a)(sin^2 a - cos^2 a) + sin 2a = 1*(-cos 2a) + sin 2a =
= sin 2a - cos 2a = cos 2a*(sin 2a/cos 2a - 1) = cos 2a*(tg 2a - 1)
Поэтому дробь равна cos 2a
Получаем
cos 2a + cos(3pi + 2a) = cos 2a - cos 2a = 0

Модуль-величина неотрицательная, а раз левая и правая части уравнения неотрицательные, то можно возводить в квадрат, то есть:
||x+1|-|x-3||=|x|
(|x+1|-|x-3|)²=x²
теперь осталось всего 2 модуля:|x+1| и |x-3|
сейчас нужно узнать с какими знаками раскрывать эти модули, для этого выражения под модулем нужно приравнять к нулю:
(x+1)=0     х=-1
(x-3)=0      х=3
покажем интервал:
(x+1)      -               +                +
(x-3)       -               -                 +
>
                    -1                  3
получилось 3 интервала, значит нужно решить систему из 3 уравнений:
система:
(-(x+1)+(x-3))²=x²      при x<-1
((x+1)+(x-3))²=x²       при  -1≤x≤3
((x+1)-(x-3))²=x²        при x>3
раскрываем скобки
система:
(-х-1+х-3)²=х²        при x<-1
(х+1+х-3)²=х²        при  -1≤x≤3
(х+1-х+3)²=х²        при x>3
система:
х²=16                    при x<-1
4х²- 8х+4=х²             при  -1≤x≤3
х²=16                      при x>3
система:
х=-4                    при x<-1
х=4                      при x>3
 3х²-8х+4=0
D=64-48=16
x₁=(8-4)/6=2/3          при  -1≤x≤3
x₂=(8+4)/6=2
отв:4; -4; 2; 2/3