Найти медиану, размах, моду и среднее арифметическое числового ряда: 88, 75, 91, 88, 85, 83, 80, 78, 74, 92.

88+75+91+88+85+83+80+78+74+92=834÷10=83.4

1) А -  событие
     Р(А) - вероятность события
p₁=0.9/5=0.18
p₂=0.8/12=0.07
p₃=0.7/8=0.0875
p₁⁻=0.9
p₂⁻=0.8
p₃⁻=0.7
P=p₁*p₁⁻+p₂*p₂⁻+p₃*p₃⁻
P=0.18*0.9+0.07*0.8+0.0875*0.7
P(A)≈0.28
Р_А(В₁) - вероятность события для отличников
Р_А(В₂) - для хорошистов
Р_А(В₃) - для троечников
P_А(B₁)=P(B₁)*P_B₁(A)/P(A)=0.9*0.18/0.28=0.57
P_A(B₂)=0.8*0.07/0.28=0.2
P_A(B₃)=0.7*0.085/0.28≈0.22

2)
p=P(A)=0.8
q=P(A⁻)=1-p=1-0.8=0.2 - q - вероятность противоположного события
P₁₀₀(20)=C²⁰₁₀₀*0.8²⁰*0.2¹⁹=4.606
P₁₀₀(60)=C⁶⁰₁₀₀*0.8⁶⁰*0.2⁵⁹≈3.195
(4.606+3.195)/2=3.9
Вероятность не менее 20 и не более 60 = 3.9
P₁₀₀(80)=C⁸⁰₁₀₀*0.8⁸⁰*0.2⁷⁹≈2.93
Вероятность 80 раз ≈2.93

По формуле Бернулли определяем вероятности для первого и второго событий:

Количество независимых испытаний n = 20; вероятности событий выпадения как орла так и решки равны q = p = 1/2.

Орел выпадает ровно 20 раз (k = 20)

Вероятность P1 = n!/(k!*(n - k)!) * (p^k * q^(n - k)) = 8!/(20! * 2!) * (1/2)^20 * (1/2)^2 = 56/2 * (1/2)^8 = 7/64

Орел выпадает ровно 1 раз (k = 1)

Вероятность P2 = n!/(k!*(n - k)!) * (p^k * q^(n - k)) = 8!/(1! * 7!) * (1/2)^1 * (1/2)^7 = 8 * (1/2)^8 = 2/64

Вероятность наступления события P1 больше P2 в P1/P2 = (7/64) / (2/64) = 3.5 раза.