Доказать, что 3^60+1 делится на 82

1) x>0
    x>2^3
ответ: x > 8
2) x>0
    2x < 9,     x < 4,5
ответ: (0; 4,5)
3) 3x -1 >0,     3x > 1,     x > 1/3
    3x -1 <5      3x < 4      x < 4/3
ответ: (1/3; 4/3)
4) 2 -4x > 0,    -4x > -2,     x < 0,5
    2 - 4x <=3,   -4x <= 1,   x >= -1/4
ответ: (-1/4; 0,5) 
5) 1 + 2x > 0, 2x > -1, x > -1/2
     1 +2x < 2,  2x < 1 , x < 1/2
ответ: (-1/2; 1/2)
6)5x + 3 > 0 , 5x > -3, x > -3/5
   5x +3 <=корень из 7,   5х <= корень из 7 -3, x  <= 1/5*корень из 7 - 3/5
ответ: (-3/5;  1/5*корень из 7 - 3/5)
7) x^2 -2x > 0        (-беск. ;0)  и  ( 2; + беск.)
     x^2 - 2x >=8     x^2 -2x -8 >=0    (-беск.;-2) и ( 4; + беск)
ответ: (-беск.;-2) и ( 4; + беск)
10) 2 - х > 0                             x < 2
      3x +6 > 0                            x > -2
      2 - x <= 3x +6 ,  -4x <= 4,   x  >= -1
ответ:[-1; 2)

     

Работаем с квадратами, поэтому берем кубический многочлен.

Напишем систему уравнений

S = An^3 + Bn^2 + Cn + D

Где будем подставлять посчитанные результаты S и n от 0 до 4.

D = 0

A + B + C + D = 1

8A + 4B + 2C + D = 5

27A + 9B+ 3C + D = 14

далее

A + B + C = 1

8A + 4B + 2C = 5

27A + 9B + 3C = 14

вычтем первое уравнение помноженное на 2 из второго

и первое уравнение помноженное на 3 из третьего

A + B + C = 1

6A + 2B = 3

24A + 6B = 11

вычтем второе уравнение помноженное на 3 из третьего

A + B + C = 1

6A + 2B = 3

6A = 2

решая эту систему получим

A = 1/3

B = 1/2

C = 1/6

D = 0

подставляя найденные значения в самое верхнее выражение

получим

S = (1/3)n^3 + (1/2)n^2 + (1/6)n

это и есть искомая формула

(приведите ее к общему знаменателю, да разложите на множители)