Найдите все решения уравнения sin^2 x-3sin2x-7cos^2x=0

sin^2 x-3sin2x-7cos^2 x=0,

sin^2 x-6sinxcosx-7cos^2 x=0,

sin^2 x/cos^2 x-6sinxcosx/cos^2 x-7=0,

tg^2 x - 6tgx - 7=0,

tgx=t,

t^2-6t-7=0,

по теореме обратной к теореме виета:

t1=-1, t2=7,

 

tg x=-1,

x=arctg(-1)+pi*k, kєz,

x=pi-arctg 1+pi*k, kєz,

x=pi-pi/4+pi*k, kєz,

x=3pi/4+pi*k, kєz,

 

tg x=7,

x=arctg 7+pi*k, kєz

 

 

1)  sin^2 -6sinx*cosx-7cos^2x=0  (формула sin2x=2sinx*cosx)

2)tg^2x-6tgx-7=0        (делим всё на cosx)

3)мы получили квадратное уравнение  а^2-6а-7=0

4) решаем его по теореме виетта  а1=7;       а2=-1;

5)tgx=7,      x=arctg7+pin

6)tgx=-1 (это частный случай)  х=-pi/4+pin

                          где n принадлежит  z

{y= -x²+5x+5 { x+y = 13         ⇒ y= 13-x 13-x   = -x² +5x +5 13 - x +x²   - 5x - 5=0 x²   -6x +8   = 0 d = (-6)² -4*1*8 = 36 - 32 = 4 =2² d> 0   - два корня уравнения х₁= (6 -2)/(2*1) = 4/2 = 2 х₂= (6+2)/(2*1) = 8/2 = 4 у₁= 13 - 2=11 у₂ = 13 - 4= 9 проверим: у= - 2² + 5*2 + 5   = - 4 + 10 + 5 = 11         ⇒   (2 ; 11) у =   - 4²   + 5*4 +5   = - 16 + 20 + 5 = 9         ⇒   (4 ; 9 ) ответ:   (2 ; 11 ) , ( 4 ; 9).

нехай перша бригада може виконати завдання за x годин, тоді друга за(x+6)  годин. за одну годину перша бригада -  1/х, друга  бригада - 1/(х+6).

                                                складемо рівняння

2/(х+6)+5(х+6)+5/х=2/3

21х+15(х+6)=2х(х+6)

21х-15х+90=2х²+12х

х²-12х-45=0

д=144+180=324

х₁=-3 - не підходить

х₂=15    год перша бригада

15+6=21 (год) - друга бригада

відповідь. 15 і 21 год.