составить уравнения для каждого промежутка данного графика. То есть к примеру на промежутке [-7;-6] y=+1 и т. д. для каждого промежутка где свой график

Чтобы уравнение имело только положительные корни необходимо и достаточно чтобы при а больше нуля:

1) Оно имело корни, это Д>=0

2) Вершина лежала строго больше нуля

3) Значение в точке ф(0)>0, если значение в х=0 будет больше нуля, то очевидно функция пересечет ось Ох в точке большей нуля, с учетом условия что вершина лежит правее нуля.

При а<0 то есть убывающей функции у нас поменяется только условие, что значение в ф(0) должно быть меньше нуля строго

И надо не забыть рассмотреть случай когда а=0 тогда исходное уравнение примет вид линейной функции и будет иметь один корень больший нуля, что удовлетворяет условию задачи.