sergey3699
sergey3699
11.12.2022
?>

Решить линейное дифференциальное уравнение 1 порядка y'+2y=4x

Алгебра
Ответить

Ответы

Aleksandr768
Aleksandr768
11.12.2022

замена:

y = uv \\ y '= u'v + v'u

u'v + v'u + 2uv = 4x \\ u'v + u(v + 2v) = 4x \\ \\ 1)v' + 2v = 0 \\ \frac{dv}{dx} = - 2v \\ \int\limits \frac{dv}{v} = - 2\int\limits \: dx \\ ln(v) = - 2x \\ v = {e}^{ - 2x} \\ \\ 2)u'v = 4x \\ \frac{du}{dx} \times {e}^{ - 2x} = 4x \\ \int\limits \: du = \int\limits \frac{4xdx}{ {e}^{ - 2x} } \\ u = \int\limits4x {e}^{2x} dx

решим отдельно интеграл

\int\limits4x {e}^{2x} dx \\

по частям:

u = 4x \: \: \: \: \: \: \: du = 4dx \\ dv = {e}^{2x} dx \: \: \: \: \: \: \: \: v = \frac{1}{2} {e}^{2x}

\frac{4x}{2} {e}^{2x} - \frac{4}{2} \int\limits {e}^{2x} dx = \\ = 2x {e}^{2x} - \int\limits {e}^{2x} d(2x) = \\ = 2x {e}^{2x} - {e}^{2x} + c = \\ = {e}^{2x} (2x - 1) + C

получаем:

u = {e}^{2x} (2x - 1) + C \\ y = {e}^{ - 2x} \times {e}^{2x} (2x - 1) + C \\ y = 2x - 1 + C

общее решение

Ответить на вопрос

Поделитесь своими знаниями, ответьте на вопрос:

Решить линейное дифференциальное уравнение 1 порядка y'+2y=4x
Ваше имя (никнейм)*
Email*
Комментарий*
▲