Решите

Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник - параллелограмм.

Дано: ABCD, AD║ BC, AD = BC.

Доказать: ABCD - параллелограмм.

Доказательство:

Проведем BD.

ВС = AD по условию,

∠1 = ∠2 как накрест лежащие при пересечении AD║BC секущей BD,

BD - общая сторона для треугольников ABD и CDB, ⇒

ΔABD = ΔCDB по двум сторонам и углу между ними.

Из равенства треугольников следует, что

∠3 = ∠4, а это накрест лежащие углы при пересечении прямых CD и АВ секущей BD, значит

CD║AB.

Если в четырехугольнике противоположные стороны параллельны, то это параллелограмм.

2 признак.

Если в четырехугольнике противоположные стороны равны, то этот четырехугольник - параллелограмм.

Дано: ABCD, AB = CD, BC = AD.

Доказать: ABCD - параллелограмм.

Доказательство:

Проведем BD.

ВС = AD по условию,

AB = CD по условию,

BD - общая сторона для треугольников ABD и CDB, ⇒

ΔABD = ΔCDB по трем сторонам.

Из равенства треугольников следует, что

∠1 = ∠2, а это накрест лежащие углы при пересечении прямых ВС и AD секущей BD, значит ВС║AD и ABCD - параллелограмм по первому признаку.

3 признак.

Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник - параллелограмм.

Дано: ABCD, AC∩BD = O, AO = OC, BO = OD.

Доказать: ABCD - параллелограмм.

Доказательство:

AO = OC по условию,

BO = OD по условию,

∠АОВ = ∠COD как вертикальные, ⇒

ΔАОВ = ΔCOD по двум сторонам и углу между ними.

Значит, AB = CD и ∠1 = ∠2, а это накрест лежащие углы при пересечении прямых АВ и CD секущей АС, значит АВ║CD.

ABCD - параллелограмм по первому признаку.

x+20y+10xy=40

x+20y-10xy=-8

x+20y+10xy=40

(x+20y+10xy)-(x+20y-10xy)=40-(-8)

x+20y+10xy=40

x+20y+10xy-x-20y+10xy=40+8

x+20y+10xy=40

20xy=48

x+20y+10xy=40

xy=2.4

x+20y+24=40

xy=2.4

x+20y=16

y=2.4/x

x+20*2.4/x=16

y=2.4/x

x+48/x=16

y=2.4/x

(x+48/x)*x=16*x

y=2.4/x

x^2+48=16x

y=2.4/x

x^2-16x+48=0

y=2.4/x

(x-4)(x-12)=0

y=2.4/x

x1=4

x2=12

y1=2.4/4=0.6

y2=2.4/12=0.2

Проверка:

x1=4

y1=2.4/4=0.6

x+20y+10xy=40

4+20*0.6+10*4*0.6=40

4+12+24=40

40=40

x+20y-10xy=-8

4+20*0.6-10*4*0.6=-8

4+12-24=-8

-8=-8

x2=12

y2=2.4/12=0.2

x+20y+10xy=40

12+20*0.2+10*12*0.2=40

12+4+24=40

40=40

x+20y-10xy=-8

12+4-24=-8

-8=-8