Найдите корни уравнения sin^2 x-cosx=1, принадлежащему отрезку [0; 2*п]

sin^2 x-cosx=1

1-сos^2x-cosx=1

cosx(1+cosx)=0

cosx=0  x=п/2 x=3п/2

cosx=-1 x=п

sin^2 x-cosx=1

1-cos^2 x-cosx=1

-cos^2 x-cosx=0

cos^2 x+cosx=0

cosx(cosx+1)=0

cosx=0

x=p/2+pk; k принадлежит z

или

cosx+1=0

cosx=-1

x=p+2pk; k принадлежит z

 

подставим к в первое решение:

к=0

x=p/2 - подходит к интервалу

k=1

x=3p/2 - так же подходит к интервалу

при к=2 и выше подходить уже не будет.

теперь подставляем к во второе решение:

k=0

x=p - подходит к интервалу

k=1

x=3p - не подходит

 

т.е. ответы: x=p/2; x=3p/2; x=p

Обозначим a1 + a2 + + ak = sk, s(k+1) = sk +- 1, s2n = 0. можно считать, что a1 = 1. нам необходимо посчитать количество последовательностей, для которых s1 = 1, все sk > = 0 и s2n = 0. такие последовательности будем называть  правильными, а не являющиеся  правильными -  неправильными. общее число последовательностей, для которых s1 = 1 и s2n = 0, равно биномиальному коэффициенту из (2n - 1) по (n - 1) (понятно, что среди a2, a3, a2n есть ровно (n - 1) число +1, так что нужно найти число способов выбрать (n - 1) место из (2n - посчитаем количество  неправильных последовательностей. я , что общее число  неправильных последовательностей равно общему числу последовательностей, у которых s1 = -3 и s2n = 0. доказательство. пусть a1, a2, a2n -  неправильная последовательность. это означает, что для какого-то номера k выполнилось sk = -1. пусть k - первый номер, для которого это верно. заменим все члены a2, a3,  ak на -a2, -a3, -ak и подберем новое значение a1 так, чтобы по-прежнему было sk = -1. тогда a1 = -3. поскольку каждой неправильной последовательности соответствует ровно одна новая последовательность, и из каждой новой последовательности можно получить только одну  неправильную последовательность, то их количества равны. количество  неправильных последовательностей с учетом утверждения легко посчитать. если a1 = -3 и s2n = 0, то среди a2, a3, a2n должно быть (n - 2) чисел -1 и (n + 1) число +1. отсюда число  неправильных последовательностей равно биномиальному коэффициенту из (2n - 1) по (n - 2). остается вспомнить, что число  правильных последовательностей = общее число  минус   число  неправильных последовательностей. итоговая формула: для n = 7 ответ равен 1716 / 4 = 429

2^x=a (a²-8a+7)/(a²-5a+4)≤(a-9)/(a-4) +1/(a+6) a²-8a+7=(a-1)(a-7) a1+a2=8 u a1*a2=7⇒a1=1 u a2=7 a²-5a+4=(a-1)(a-4) a1+a2=5 u a18a2=4⇒a1=1 u a2=4 (a-1)(a-7)/[(a-1)(a+4)≤(a-9)/(a-4) +1/(a+6) (a-7)/(a--9)/(a-4) -1/(a+6)≤0, a≠1 [(a-7)(a+-9)(a+-4)]/[(a-4)(a+6)]≤0 [(a+6)(a-7-a+-4)]/[(a-4)(a+6)]≤0 (2a+12-a+4)/[(a-4)(a+6)]≤0 (a+16)/[(a-4)(a+6)]≤0 a=-16  a=4  a=-6             _            +              _        _        + - a≤-16⇒2^x≤-16 нет решения -6< a< -1⇒-6< 2^x< -1 нет решения -1< a< 4⇒-1< 2^x< 4⇒x< 2 x∈(-∞; 2)