Доказать тождество (3+4cos(4a)+cos(8a))/(3-4cos(4a)+cos(8a))=ctg^(4)2a

числитель 4cos 4a+(1+cos 8a)+2=4cos 4a+2(cos 4a)^2+2

знаменатель -4cos 4a+(1+cos 8a)+2=2(cos 4a)^2+2-4cos 4a

для простоты обозначим cos 4a=t

4cos 4a+2(cos 4a)^2+2=2t^2+4t+2=2(t^2+2t+1)=2*(t+1)^2

2(cos 4a)^2+2-4cos 4a=2t^2-4t+2=2*(t^2-2t+1)=2(t-1)^2=2*(1-t)^2

сокращаем на 2 и получаем ((t+1)^2)/((1-t)^2)=(1+cos 4a)^2/(1-cos 4a)^2=

(2*(cos 2a))^2)^2/(2*(cos 2a))^2)^2=(cos 2a)^4/(sin 2a)^4=(ctg 2a)^4

здесь используется формула (1+cos 2a)=2*(cos a)^2,(1-cos 2a)=2*(sin a)^2

(3a²-11a+8)/2(a²-7a+10)≤0 3a²-11a+8=3(a-1)(a-8/3) d=121-96=25 a1=(11-5)/6=1 a2=(11+5)/6=8/3 a²-7a+10=(a-2)(a-5) a1+a2=7 u a1*a2=10⇒a1=2 u a2=5 3(a-1)(a-8/3)/2(a-2)(a-5)≤0             +                _                +                _                  +                   1                  2                  8/3                5 1≤a< 2 u 8/3< a≤5 1≤5^x< 2 u 8/3< 5^x≤5 0≤x< log(5)2 u log(5)8/3< x≤1 x∈[0; log(5)2) u (log(5)8/3; 1]

Разложим на множители знаменатель: тогда знаменатель раскладывается на множители: одз:   разложим числитель на множители: представив выражение слева в виде функции, видим она меняет знак в точках,   в которых каждая скобка обращается в ноль,   найдем эти точки: решаем методом интервалов:     на числовом луче рисуем последовательно четыре точки:           +               0                     log2           +           log8/3           1               + [email  protected]о [email                                      -                                             - ответ: