Найти разность арифметической прогрессии в которой первый член равен 66, а произведение второго и двенадцатого является наименьшим из возможных

a1=66

a2*a12=(a1+d)(a1+11d)=a1^2+12a1d+d^2

a1^2+12a1d+d^2=66^2+12*66*d+d^2=4356+792d+11d^2

f(d)=4356+792d+11d^2

f`(d)=792+22d

f`(d)=0 при 792+22d=0

                                  22d=-792

                                  d=-36 -наменьшая разность

                   

по формуле n-ного члена арифметической прогрессии:

а2=а1+d; a12=a1+11d. составим произведение а1*а12=(а1+d)*(a1+11d)=a1^2+12*a1*d+d^2=(a1+6*d)^2-25*d. данное выражение принимает наименьшее значение, если а1+6d=0, т.е. d=-11

ответ: d=-11

Запись                      означает, что функции    и      зависят только от переменной  "х"  , а функции    и    зависят только от переменной  "у" . указывается на то, что диффер. уравнение допускает обособление (разделение) переменных только тогда, когда перед дифференциалами (dx  и  dy) стоят функции, являющиеся произведениями двух других функций, одна из которых зависит только от  "х" , а вторая зависит только от  "у" .  например,    .  разделим переменные:     . если  уравнение имеет вид    , то переменные уже нельзя разделить, так как нельзя функции, стоящие перед  dx и  dy,представить в виде произведения  .

Выраженияcos(α+β)+2sinαsinβ, если  α -  β=π. cos(α+β)+2sinαsinβ= cosαcosβ  -sinαsinβ +2sinαsinβ=cosαcosβ  +sinαsinβ =cos(α -β) =cosπ = -1. =========================== 1. √(4x -x²) < x  -  3 ; ⇔(равносильно системе)  { x -3 > 0 ;   4x -x²  ≥0 ;   4x -x²    < (x -  3)² . ⇔  решение  системы неравенств  есть пересечение решений всех входящих в нее неравенств : {  x >   3   ;   x(x-  4)  ≤0   ; 2x² -10x +9  ≤0 .                 * *   *    "постепенно"   *  * * //////////////////////////////////////////////////////////// [0] ///////////////////////// /////////////////////////////////  [4]   ⇔{  x∈(3; 4]    ; 2(x -  (5  -√  7)  /2)*(x -  (5  +√   7) /2 )x₁    =(5  -√  7)  /2≈1,18   ;   x₂  =(5  +√  7)  /2    ≈3,82   )  /////////////////////////////// [4]   (5  -√  7)  /2 ]/////////////////////// //////////[  (5  +√  7)  /2 ]  ответ : x  ∈  (  3   ;   (5  +√  7)  /2 ] . 2.  √(x² -1)   >   x    ; a)  { x < 0 ;   x² -1≥0 .⇔  { x < 0 ; (x+1)(x-1)≥0 .⇒   x∈( -∞; -1] ///////////////////////////////////////////  (0) /////////////////////   [-  ]///////////////////////////// b)  { x ≥ 0 ;   x² -1  ≥  x²  .⇔    x∈∅ ответ : x  ∈    ( -∞; -1]. 3.  √(x -2)/(1-2x)   >   -1   ; (x -2)/(1-2x)  ≥0  ⇔( (x-2)/2*(x -1/2)  ≤  0            " +"                       " -"                               " -" (1/2)//////////////////////  [2] ответ : x  ∈    (1/2; 2] . 4.  √(x+1) > √(3 -x)   ⇔   {  x+1 > 3 -  x   ≥  0   .⇒  x  ∈(2 ; 3] ответ : x  ∈    (2; 3] . 5.√(x - 8)* log(√7) (7 -2x/3)  ≤ 0 ;   * * *⇔ 2√(x-8)*log(7) (7-2x/3)  ≤0 * * * одз : { x-8  ≥0 ;   7 -2x/3 > 0.⇒ x∈[8 ; 10,5)   x =8 решение   . т.к. в       одз   √(x - 8)  ≥0 ,  следовательно : log(√7) (7 -2x/3)  ≤ 0  ⇔   log(√7) (7 -2x/3)  ≤  log(√7)  1.     ( т.к.√7 > 1)  ⇒  7 -2x/3 ≤  1 ; x  ≤ 9 ответ : x  ∈    [8  ; 9] . 6. √(x² -x -6)*  √(8 -x)  ≤ 0 ; √(x +2)(x-3)*  √(8 -x)  ≤ 0 ; одз : {(x +2)(x-3)  ≥0 ;   8 -x  ≥0.⇒ x∈[ -∞ ; 2] u [3 ;   8]  ///////////////////////   [- ///////////////////////////// ///////////////////////////////////////////////////// /////////////////////  [8]     √(x² -x -6)*  √(8 -x)  < 0   не имеет решения  остается   в   одз √(x +2)(x-3)*  √(8 -x) =0  ответ : x  ∈{ -2 ; 3 ; 8}   одно из этих чисел. можете проверить арифметику