Найдите биссектрису угла a, прямоугольного треугольника abc , если гипотенуза ab = 5, а катет ac = 4 .

sin²x + sin²(2x) + sin²(3x) = 3/2

ркшение

применим формулы:

(sin x)²  = (1 - cos 2x)/2

(sin 2x)²  = (1 - cos 4x)/2

(sin 3x)²   = (1 - cos 6x)/2

приводим к общему знаменателю и получаем:

  cox 2x + cos 4x + cos 6x = 0

(группируем первое и третье слагаемое и пользуемся формулой суммы косинусов)

2cos 4x*cos 2x+cos 4x = 0

cos 4x(2cos 2x+1) = 0

cos 4x = 0,

4x = π/2 + πn,   n  ͼ z 

x₁ = π/8 + πn/4,    n  ͼ z 

cos 2x= - 1/2

2x= ± 2π/3 + 2πk ,

x₂ =  ±  π/3+πk, k  ͼ z 

Вычислим расстояния между точками на координатной плоскости по формуле d=√(x2-x1)²+(y2-y1)²: |ab|=√(-3)²+(-3)²=√9+9=√18 |bc|=√4²+4²=√16+16=√32 |ac|=√1²+(-7)²=√50 по теореме косинусов a²=b²+c²-2bccosα вычислим cos углов a, b, c, |bc|²=|ab|²+|ac|²-2|ab||ac|cosa cosa=(|ab|²+|ac|²-|bc|²)/2|ab||ac| cosa=(18+50-32)/2*30=36/60=3/5 |ac|²=|ab|²+|bc|²-2|ab||bc|cosb cosb=(|ab|²+|bc|²-|ac|²)/2|ab||bc| cosb=(18+32-50)/2*24=0 |ab|²=|ac|²+|bc|²-2|ac||bc|cosc cosc=(|ac|²+|bc|²-|ab|²)/2|ac||bc| cosc=(50+32-18)/2*40=64/80=4/5