При каких значениях параметра a уравнение (a-1)x^2-2ax-a=0 имеет один корень?

9/ № 5:

при каких значениях параметра a уравнение (a−1)x^2−2ax−a=0 имеет один корень?

решение: если а=1, то уравнение −2x−1=0 линейное, х=-1/2 - 1 корень

иначе, уравнение квадратное:

(a−1)x^2−2ax−a=0

d1=a^2+(a-1)a=a^2+a^2-a=2a^2-a

для единственного корня нужен нулевой d:

2a^2-a=0

а(2a-1)=0

а=0, а=1/2

ответ: а=0, а=1/2, а=1

54мин=54/60ч=9/10ч=0,9ч  х-время быстрой группы на весь путь  х+0,9-время медленной группы на весь путь  18/2=9км/ч- совместная скорость  18/х+18/(х+0,9)=9  18(х+0,9)+18х=9х(х+0,9)  18х+16,2+18х=9х²+8,1х  36х+16,2=9х²+8,1х  9х²+8,1х-36х-16,2=0  9х²-27,9х-16,2=0 разделим на 9  х²-3,1х-1,8=0  d = (-3.1)2 - 4·1·(-1.8) = 9.61 + 7.2 = 16.81  х₁=(3.1 - √16.81)/(2*1) = (3.1 - 4.1)/2 = -1/2 = -0.5- не подходит  х₂=(3.1 +√16.81)/(2*1) = (3.1 + 4.1)/2 =7,2/2 = 3,6  18/3,6=180/36=20/4=5км/ч-скорость быстрой группы  9-5=4км/ч- скорость медленной групп 2. первый кран - х  второй кран - х+180 мин  х+х+180=400  2х=220  х=110 мин = 1час50минут  х+180=290мин = 4ч50минут  ответ: первый кран 1час50 минут, второй кран 4часа50минут

Запишем выражение в виде 2n^6 - n^4 - n^2 = n^2*(2n^4-n^2-1) = n^2*(n^2-1)*(2n^2+1) = n*n*(n-1)*(n+1)*(2n^2+1). поскольку n*(2n^2 + 1) = 2n^3 + n = 2(n^3 - n) + 3n = 2n*(n-1)*(n+1) + 3n, то имеем n*n*(n-1)*(n+1)*(2n^2+1) = n*(n-1)*(n+1)*(2n*(n-1)*(n+1) + 3n) = 2n*n*(n-1)*(n-1)*(n+1)*(n+1) + 3n*n*(n-1)*(n+1). в первый член 2n*n*(n-1)*(n-1)*(n+1)*(n+1) входит произведение трех последовательных чисел в квадрате. произведение n*(n-1)*(n+1) всегда кратно 6, следовательно все произведение 2n*n*(n-1)*(n-1)*(n+1)*(n+1) кратно 36. рассмотрим член 3n*n*(n-1)*(n+1). произведение n*(n-1)*(n+1) кратно 6, значит при четном n произведение 3n*n*(n-1)*(n+1) кратно 36. при нечетном n кратном 3 все произведение 3n*n*(n-1)*(n+1) также кратно 36, при нечетном n некратном 3, т. е. при n = 3k + 1 или n = 3k + 2, где k - натуральное, имеем два четных числа n-1 и n+1, одно из которых кратно 3, поскольку в этом случае либо n-1 = 3k+1-1 = 3k, либо n+1 = 3k+2+1 = 3k+3 =3(k+1) и значит и в этом случае произведение 3n*n*(n-1)*(n+1) кратно 36.  т. о. оба члена 2n*n*(n-1)*(n-1)*(n+1)*(n+1)  и 3n*n*(n-1)*(n+1) кратны 36, а значит и их сумма 2n*n*(n-1)*(n-1)*(n+1)*(n+1) + 3n*n*(n-1)*(n+1) кратна 36. следовательно выражение 2n^6 - n^4 - n^2 делится на 36.