Преобразуйте в многочлен выражение (a-3)(a--1)^3

a^2-2a-3a+6-a^3-3a^2*b-3a*b^2-b^3=-a^3-3a^2*b-3a*b^2-b^3-a

(a-3)(a--1)^3= a^2 -3a-2a -a^3 +3a^2 -3a +1 =-a^3 +4a^2 -8a +1

числа при делении на 9 могут давать остатки 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. поєтому любое натуральное число можно записать в виде

n=9m+r, где m - некоторое неотрицательное число, r - цифра

 

используя формулу куба суммы

видим, что остаток от деления числа n^3 такой же как у числа b^3, так как

 

рассмотрим остатки от деления кубов одноцифровых чисел

кубы одноцифровых чисел 0, 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729.

числа 0, 27, 216, 729 при делении нацело на 9 остаток 0

числа 1, 64, 343 при делении нацело на 9 в остатке 1

числа 8, 125, 512 при делении нацело на 9 в остатке 8.

таким образом делаем вывод, что кубы натуральных чисел при делении на 9 могут давать только остатка 0,1 и 8.

доказано

4^2=16 (6 - четная)

5^2=25 (2 -четная)

6^2=36 (6-четная)

7^2=49 (4 -четная)

8^2=64 (6 - четная)

9^2=81 (8 - четная)

при n> =10 число n=10k+m, где, k - некоторое натуральное число, а m -одна из цифр

n^2=(10k+m)^2=100k^2+20km+m^2

последние две цифры числа определяются последними двумя цифрами суммы 20km+m^2. расммотрим все возможные варианты

если m - четная, так как произведение четных чисел четное, то последняя цифра числа n - будет четной.

если m=1, то 20k*1+1^2=20k+1=10*(2k)+1 и цифра десятков при любом k будет четной

если m=3, то 20k*1+3^2=20k+9=10*(2k)+9 и цифра десятков при любом k будет четной

если m=5, то 20k*1+5^2=20k+25=20k+20+5=10*(2(k+1))+5 и цифра десятков при любом k будет четной

если m=7, то 20k*1+7^2=20k+49=20k+40+9=10*(2(k+2))+9 и цифра десятков при любом k будет четной

если m=5, то 20k*1+9^2=20k+81=20k+80+1=10*(2(k+4))+1 и цифра десятков при любом k будет четной

все варианты рассмотрены из них следует что либо число единиц, либо число десятков будет четной цифрой. доказано.