Функция f(x) = 1/cos^2(x) интегрирована на отрезке : a) [-п/2 ; п/2] б) [0 ; п ] в) [-п/4 ; 2п ] г) [п/4 ; 2п]

функция интегрируема, если cos x не равен нулю.

функция неинтегрируема, если cos x =0.

cos x = 0 при x = п/2 + пk

проверяем

a) [-п/2 ; п/2]

на краях этого отрезка (x=-п/2 , x=п/2) cos x = 0 - функция неинтегрируема

б)   [0 ; п ]

в середине этого отрезка (x=п/2)   cos x = 0 - функция неинтегрируема

в) [-п/4 ; 2п ]

внутри этого отрезка (x=п/2,x=3п/2,x=5п/2)   cos x = 0 - функция неинтегрируема

г) [п/4 ; 2п]

внутри этого отрезка (x=п/2,x=3п/2,x=5п/2)   cos x = 0 - функция неинтегрируема

 

ответ: функция неинтегрируема ни на каком отрезке.

 

хотя, возможно, имеется в виду теорема о том, что

если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она интегрируема на этом отрезке.

формально под эту теорему подпадает случай а).

(но что делать с границами отрезка? если бы вместо отрезка был интервал (-п/2; п/2), то на этом интервале функция была бы интегрируема в любой точке, и вопросов бы не было и интеграл по интервалу можно было рассматривать, как предельные переходы к границам интервала.

можно конечно, так же считать и для отрезка [-п/2; п/2], но это сомнительное  допущение.)

так что ответ может быть и а).

 

 

что значит интегрирована? это значит, что она определена и монотонна на данном отрезке. что такое определена? это значит, что все значение, что можно подставить в уравнение, будут принадлежать крайние значения.

f(-п/2) = 1/сos^2(п/2) = 1/0  - неверно, так как косинус тут равен

f(0)=1/1=1. 1 удовл отрезку [0 ; п]

f(п)= 1/1 = значит, ответ - б

1) база индукции: 1 проверено. предположим, что утверждение верно для n=k. покажем, и докажем, что утверждение верно так же для n=k+1. так как , следуя предположению  то прибавив к данному выражению d. мы получим   следующий член  .т.е. предположение верно. ч.т.д.2) база : 1проверка:   .  предположение:   теперь покажем и докажем, что данное выражение верно и при  : так как предыдущий член был равен k, то что бы узнать сумму первых k+1 членов, достаточно прибавить  k+1 член (используя формулу которую мы доказали ранее): т.е. мы пришли к изначальной формуле, если туда подставить k+1. ч.т.д. 3) это не формула общего члена, это формула суммы. при  получается деление на ноль, поэтому сразу пишем  база: 1 предположим, что формула верна для:   покажем и докажем что формула верна для  : как и с суммой арифм.прогрессии. мы добавим k+1 член к сумме. ч.т.д.

                        s                         v                     t 1-я лодка       х  км               у + 3  км/ч       х/(у +3) ч 2-я лодка       111 - х  км     у -   3  км/ч       (111-х)/(у -3)ч  х/(у + 3) = 1,5         ,⇒     х = 1,5(у +3) (111-х)/(у -3) = 1,5,⇒  111 - х = 1,5(у -3) сложим  эти 2 уравнения почленно получим: 111= 1,5(у +3) + 1,5(у -3) 111 = 1,5у +4,4 + 1,у - 4,5 3у = 111 у = 37(км/ч) - собственная скорость лодки х = 1,5(у +3) = 1,5(37 +3) = 1,5*40 = 60(км) -1-я лодка проплыла до встречи 111 - 60 = 51(км) - проплыла 2-я лодка до встречи.