Докажите, что у замкнутой ломаной расстояние между любыми двумя вершинами не больше половины длины ломаной

Пусть АВСDЕА — замкнутая ломаная линия.
Расстояние между двумя вершинами, например, А и D будем считать отрезком, соединяющим концы ломаной, следовательно по теореме о длине ломаной имеем: АD≤АВ + ВС + CD и АD≤АЕ + ED, сложив два неравенства, получим:
2АD ≤ АВ + ВС + CD + DE + ЕА, АD ≤ 1/2 (АВ + ВС + CD + DE + ЕА). Что и требовалось доказать.

- Россия стала инициатором и главным игроком Священного союза и на время превратившись в ключевого игрока европейской международной политики;
- Россия получила некоторые новые земли бывшей Речи Посполитой в результате их перераспределения, которое иногда называют «Четвёртым разделом Польши»;
- было официально признано уничтожение Республики 7 Островов в Ионическом море, фактически находившейся под протекторатом России (большая часть её островов ещё в 1809-1810 годах была захвачена британским флотом, на Корфу окопался французский гарнизон), она преобразовывалась в Ионическую республику под протекторатом Великобритании;
- России досталось 100 млн франков из выплаченной Францией контрибуции;
- российские войска оставались в своей оккупационной зоне Франции.

Сходство между итальянским фашизмом и германским национал-социализмом заключалось в том, что обе идеологии носили тоталитарный характер и предполагали полный контроль государства над всеми сферами жизни людей. Общим для двух идеологий был также культ вождя; в Италии — дуче, в Германии — фюрера Приходя к власти, тоталитарные лидеры оказывались перед необходимостью реализовывать свои обещания относительно вывода экономики из кризиса. Меры государственного регулирования осуществлялись тогда и в фашистской Италии, и в нацистской Германии. В Италии в 1933 г. был создан Институт промышленной реконструкции (ИРИ), который конгролировал деятельность 120 предприятий с 280 тыс. наемных работников.
Антикризисные мероприятия в Германии связывались с милитаризацией народного хозяйства которая финансировалась из государственного бюджета. Государство осуществляло общественные работы (строительство автобанов, осушение болот и др.). Все эти меры позволили ликвидировать безработицу. Значительное внимание нацисты уделяли крестьянству. Принятый закон о наследственных дворах не разрешал ни при каких условиях отнимать землю у крестьян.