Ученик купил несколько тетрадей и карандашей, заплатив за покупку 23 р. Цена тетради 2 р., а цена карандаша 3 р. Сколько тетрадей и карандашей было куплено учеником?

решение к задаче приложено к ответу

Решение.
Совершив геометрические построения, согласно условию задачи, увидим, что у нас образовались треугольники KM1P1 и KM2P2 .
У них общий угол K, а, поскольку плоскости α и β параллельны, то прямые М1 Р1  и М2 Р2 , лежащие на этих плоскостях, также параллельны. Поскольку параллельные прямые, пересекающие третью, образуют с ней равные углы, то треугольники KM1P1 и KM2P2 - подобны по трем углам. То есть имеют равные углы.

Поскольку треугольники KM1P1 и KM2P2  подобны, то
М1 Р1 / М2 Р2 = КМ1 / KМ2

Обозначим KМ2 как х. Таким образом :
4 / 9 = 8 / x
4x = 72
x = 18

Ответ: 18 см

Решение.
Поскольку CE - биссектрисса угла С, то угол KCE равен 90 / 2 = 45 градусов.

Тогда в прямоугольном треугольнике CKE угол KEC найдем исходя из того, что сумма углов треугольника равна 180 градусам. Поскольку два угла из трех нам известны (К - прямой угол прямоугольника, угол KEC равен 45 градусам), то 180 - 90 - 45 = 45 градусов.

Поскольку два угла треугольника CKE равны между собой, то этот прямоугольный треугольник также является и равнобедренным. Исходя из этого CK=KE=MN.

Обозначим длину отрезка KE как x. Тогда EM будет равно х+3 . Таким образом, периметр прямоугольника будет равен

2 ( CK + KE + EM ) = 51

Учтем, что CK = KE

2 ( x + x + x + 3 ) = 51
2( 3x + 3) = 51
6x + 6 = 51
6x = 45
x = 7,5 см

Так как KE = CK = MN, то MN = 7,5 см

Ответ: 7,5 см