Шар массой 4 кг прикреплен к концу стержня длиной 0.5 м , который вращают в вертикальной плосскости. стержень разрывается при силе натяжения 90 н. при какой угловой скорости произойдёт разрыв стержня?

Так как масса стержня не дана, считаем его невесомым.
Максимальная сила действующая на стержень находится в нижней точке траектории: F=m*g+m*w^2*R
w=sqrt((F-m*g)/R)=sqrt(90-4*10)/0,5)=10 рад/с

При последовательном соединении двух лампочек на 12в , и одинаковой мощности, чтобы они нормально горели можно подать 24в.
Чтобы найти мощность, для данного случая ,найдём ток:
I1=6вт/12в=0.5а   I2+4вт/12в=0.33а конечно ток будет какой-то средний,
R1=U/I1=12в/0.5a=24om   R2=U/I2=12/0.33a=36om тогда найдём средний ток в цепи I=24в/ 60om=0.4a . Найдём падение напряжения  на первой лампочке: U1=I*R1=0.4a*24ом=9.6в   на второй лампочке: U2=I*R2=0.4a*36om=14.4в,, тогда мощность на первой лампочке Р1=9.6в*0.4а=3.84вт   Р2=14.4в*0.4а=5.76вт т.е. вышло наоборот, что лампочка мощностью на 6вт- светит как 4вт,  А лампочка 4вт- светит как 6вт. Сразу не перегорит, но её ресурс уменьшится.

Рассмотрим проекцию импульса на ось x.
x-компонента импульса летящей пули: Px = m v cos(a)
x-компонента импульса катящегося бруска с пулей внутри:
Px = (m+M) Uo
m v cos(a) = (m+M) Uo
Uo = [ m cos(a) / (m + M) ] v - знаем начальную скорость бруска
дальше для движения бруска запишем второй закон Ньютона:
(m+M) a = - k (m + M) g
a =  k g   - модуль ускорение бруска
x(t) = Uo t - a t^2 / 2 - величина смещения бруска в зависимости от времени
u(t) = Uo - a t - скорость бруска, в зависимости от времени
Найдем момент, когда скорость уменьшилась на 20%:
u(to) = Uo - a to = 0,8 Uo
0,2 Uo = a to
to = 0,2 Uo / a 
Пройденный путь за это время:
X(to) = Uo t - a t^2 / 2 = (0,18/a) Uo^2
Подставим Uo и a:
X(to) = (0,18/k) [m cos(a) / (m+M)]^2 (v^2 / g) = 9,2(см)