За время τ скорость тела изменялась по закону v=at2+6t (0 ≤ t ≤ τ какова средняя скорость < v> тела за промежуток времени после начала движения?

Средняя скорость равна отношению всего пройденного пути S ко всему времени движения t. В данном случае t= τ. Найдём путь , который тело: для этого возьмём определённый интеграл от скорости по времени в пределах от 0 до τ : S=∫ V dt=∫at^2+6t dt= ∫at^2 dt +∫6tdt= a*t^3/3 +6*t2/2. Подставив пределы интегрирования получим, что S = aτ^3/3 +τ^2/2. Vср= (aτ^3/3+τ^2/2)/τ= aτ^2/3+τ/2. ответ: Vср= aτ^2/3+τ/2           

Вну́тренняя эне́ргия тела — энергия, зависящая от его внутреннего состояния. Включает кинитичиские энергия теплового движения микрочастиц (ядер, атомов, молекул, ионов и т.д.) и энергию их взаимодействия. К внутренней энергии не относят кинетическую энергию данного тела как целого и его потенциальную энергию во внешнем поле сил (гравитационном, магнитном и др.). Термин был введен английским физиком Ү. Томсонов  в 1851 году. Обозначается как U или E и измеряется не напрямую, а как изменение величины: DU = Q– A, где Q — теплота в джоулях, а A — работа в джоулях.

Рассмотрим равномерно заряженный шар. Внутри шара можно выбрать сферическую поверхность радиусом r с центром в центре шара. Поле E везде направлено радиально, значит перпендикулярно выбранной поверхности, и зависит только от расстояния до центра шара (т.к. все симметрично).
Раз поле везде на поверхности одинаково и перпендикулярно ей, значит поток поля E через поверхность:
Ф(r) = E(r) S(r)
где E(r) - модуль напряженности на расстоянии r от центра, а S(r) - площадь поверхности сферы радиусом r. (S(r)=4пr^2)
По теореме Гаусса поток равен (с точностью до множителя) полному заряду внутри поверхности:
Ф(r) = Q(r) / eo 
Q(r) = (4п/3) r^3 p - заряд внутри сферы радиусом r. (p - плотность заряда)
4 п r^2 E(r) =  (4п/3) r^3 p

E(r) = p r /3 - Напряженность поля внутри шара на расстоянии r от центра.

Снаружи шара поле от него как точечного заряда в центре шара.

Ну теперь вам осталось применить аддитивность. Шар с незаряженной областью это то же самое, что заряженный полностью шар, а внутри область с противоположным по знаку зарядом. на тоже шар. А поле шара внутри мы уже получили. Осталось сложить поля (векторно) и получить ответ. Удачи)