Заряд на пластине конденсатора колебательного контура уменьшился от амплитудного значения до до половины этого значения. через какую часть периода колебаний этот заряд будет иметь такой же модуль, но противоположный знак?

Колебания описываются формулой q=q0*cos(wt) 
косинус а не синус потому как колебания начались от максимального значения амплитуды.
wt = фаза колебаний
впервые q=q0/2 при wt=pi/3 ( т.к. cos(pi/3)=1/2)
после этого q=-q0/2 при wt=2pi/3 ( т.к. cos(2pi/3)=-1/2)
фаза колебаний изменилась на 2pi/3 - pi/3 = pi/3
период колебаний равен 2pi
значит фаза колебаний изменилась на pi/3 : 2pi = 1 : 6 = 1/6 часть периода

Суммарная кинетическая энергия всех молекул тела и (потенциальная) энергия их взаимодействия и есть внутренняя энергия тела.

Внутренняя энергия тела складывается из кинетической энергии теплового движения его частиц (атомов или молекул) и потенциальной энергии их взаимодействия. Внутреннюю энергию принято обозначать буквой U, ее единица измерения - Дж (Джоуль). Внутренняя энергия тела зависит от его температуры, агрегатного состояния и количества вещества, но не зависит от его положения в пространстве или скорости движения тела как единого целого. 

Высота, на которую поднимется камень с высоты 8,75 метров равняется
h₁=U₀t₁-gt₁²/2
скорость будет изменяться по закону
U=U₀-gt₁. На максимальной высоте скорость будет равняться нулю
U₀=gt₁
Максимальная высота будет
h₁=gt₁²-gt₁²/2=gt₁²/2
С высоты h₁ до высоты 8,75 камень будет падать по закону
h₂=gt₂²/2
Причём h₁ равняется h₂. Получим тождество
gt₁²=gt₂² из которого делаем вывод что время подъёма на максимальную высоту от отметки 8,75 м равняется времени падения с максимальной высоты до 8,75 м
Причём t₁+t₂=3 с или 2t₂=3c
t₂=1,5 с
найдем максимальную высоту
h₂=gt₂²/2
h₂=9,8*(1,5)²/2=11,025 м
Hmax=h₂+8,75
Hmax=11,025+8,75=19,775 метров
Найдём время падения камня с высоты
t=√(2H/g)
t=√(2*19,775/9,8)
t=2 секунды
Т.е. за 2 секунды камень поднимется н максимальную высоту и за две секунды упадёт с неё. Определим скорость
U=U₀-gt
U₀=gt
U₀=9,8*2=19,687 м/c
ответ начальная скорость камня 19,687 м/с