Два тела находятся на одинаковой высоте над поверхностью земли. первое тело свободно падает на землю, второе брошено горизонтально с некоторой скоростью. каково соотношение между временами движения первого и второго тела до их падения на землю.

1) Время падения одинаково. Зависит только от высоты. Первое упадет вертикально вниз. Второе за время падения еще отлетит на расстояние, равное Vгор.*t. Движение по горизонтали равномерное, если не учитывать сопротивление воздуха. В результате траектория - ветвь параболы.

h=gt^2/2; t=√(2h/g) - время падения этих тел.

Сделав рисунок, увидим, что прямоугольник АВСД  принадлежит плоскости сечения сферы и вписан в окружность, ограничивающую это сечение,
и все его вершины лежат на этой окружности. 
Расстояние от центра сферы до плоскости АВС - это расстояние от центра сферы до центра окружности, на которой расположены вершины АВСД. 
Решение сводится к теореме Пифагора. 
На рисунке, данном во вложении, МО - искомое расстояние и является катетом прямоугольного треугольника ОМС.
Второй катет МС - половина диагонали АВСД.
Эта половина - радиус сечения. 
АМ - половина диагонали АС.
По т. Пифагора  АС²=АВ²+ВС²=400
АС=√400=20 =>
МС=10 
МО²=ОС²-МС²=121-100=21 
МО=√21

в латунный калориметр m1=80 грамм содержащий m2=200 грамм воды при температуре t1= 20 градусов опустили кусочек алюминия массой m3=40 грамм при температуре t2=100 градусов . Температура теплового равновесия равна t=23 градусам . Определите удельную теплоёмкость алюминия.

m1c1-масса и теплоемкость латуни
m2c2-масса и теплоемкость воды
m3c3-масса и теплоемкость алюминия

m1c1(t-t1)+m2c2(t-t1)=m3c3(t2-t)
c3=(m1c1(t-t1)+m2c2(t-t1))/(m3(t2-t)) = (0,08*380*(23-20)+0,2*4200*(23-20))/(0,04*(100-23)) Дж/(Кг*К) = 847,7922 Дж/(Кг*К) ~ 848 Дж/(Кг*К) ~ 850 Дж/(Кг*К)