Постройте графики зависимости координаты тела от времени и скорости движения тела от времени при равномерном прямолинейном движении для двух ситуаций: а) когда тело движется в сторону увеличения координаты х; б) когда тело движется в сторону уменьшения координаты х.

• пусть основание всех наклонных плоскостей имеет длину b, а угол, который они составляют с этим основанием, равен α

• если длина плоскости L и тело скатывается без начальной скорости, то справедливо уравнение:



○ поэтому время скатывания равно:



• по определению cosα = b/L. значит, L = b/cosα (1)

• так как трение отсутствует, то ускорение телу сообщается только горизонтальной компонентой силы тяжести, то есть a = g sinα (2)

○ используя выражения (1) и (2), получаем для времени скатывания:



• возьмем производную от t(α) и приравняем ее к нулю, дабы найти точки экстремума (предварительно упрощаю выражение):



данное равенство выполняется при sin(2α) ≠ 0 и cos(2α) = 0 (b и g равными нулю быть не могут). получаем простое тригонометрическое уравнение (k ∈ Z):



ясно, что углы больше 90° мы не рассматриваем. поэтому α = 45°. область допустимых углов:



то есть, α ≠ 90° и α ≠ 180°

Время Δt складывается из времен подъема ракеты t1 до высоты h и спуска ступени t2 с этой высоты:

Δt = t1 + t2 (!)

если ракета начинала подъем без начальной скорости, то справедливо уравнение:

h = (a t1²)/2 = 2g t1²

поэтому время t1 равно:

t1 = √(h/(2g))

ракета, поднявшись на высоту h, приобретает скорость v = a t1 = 4g t1. такую же скорость по модулю, но обратную по направлению, приобретает ступень. для нее справедливо уравнение:

h = 4g t1 t2 + (g t2²)/2

перепишем квадратное уравнение относительно t2 в виде:

t2² + 8 t1 t2 - (2h)/g = 0

корень этого уравнения (отрицательный, разумеется, отбрасываю):

t2 = (-8 t1 + √(64 t1² + (8h)/g))/2

t2 = √(16 t1² + (2h)/g) - 4 t1

после ряда преобразований и подстановки выражения для t1 получаем:

t2 = √(h/g) * (√10 - √8)

вернемся к формуле (!):

Δt = √(h/(2g)) + √(h/g) * (√10 - √8)

нетрудно получить выражение для h:

h = (g Δt²)/(√(1/2) + √10 - √8)²

h = (9.8*40^(2))/(sqrt(0.5)+sqrt(10)-sqrt(8))^(2) ≈ 14470.389 м

h ≈ 14.47 км