Найти растяжение троса во время подъема груза 100 кг с ускорением 0, 2м/с², если жесткость троса 10кН/м.

Предлагаю Вашему вниманию неклассический решения. он пригоден для случая если лень вспоминать формулы и лень их выводить на основании законов сохранения.
есть две шайбы массами М и m скорость одной V другой v
центр масс системы движется со скоростью (M*V+m*v)/(M+m)
тело m относительно центра масс двигалось со скоростью v - (M*V+m*v)/(M+m) до столкновения и со скоростью -v + (M*V+m*v)/(M+m) после упругого столкновения. скорость после упругого столкновения тела m относительно исходной системы отсчета равна u = -v + 2(M*V+m*v)/(M+m)
подставим значения масс и известных скоростей
u = -v + 2(M*V+m*v)/(M+m)= -v + 2(M*0+0,1*v)/(0,2+0,1)=v*(-1 + 2/3)=-v/3
модуль скорости тела после удара в 3 раза меньше модуля исходной скорости. значит кинетическая энергия (пропорциональная квадрату скорости) после удара уменьшилась в 9 раз

Если пренебречь сопротивлением воздуха и считать снаряд материальной точкой, то задача о движении снаряда, выпущенного из пушки под углом α к горизонту с начальной скоростью v, сводится к известной задаче о движении тела, брошенного под углом к горизонту.
Наложим на систему декартовы координаты, совместив их начало с пушкой и рассмотрим снаряд как материальную точку, участвующую одновременно в двух движениях - по оси х и оси y.
Тогда в некий момент времени t можно записать следующие уравнения для скорости точки:

Уравнение перемещения точки по осям будет иметь вид

В любой точке М квадрат расстояния r² от начала координат до этой точки может быть найден по теореме Пифагора. Мы ищем квадрат, чтобы не заморачиваться извлечением квадратного корня, поскольку сама величина r нам не нужна.

Чтобы определить области убывания функции L(t), нужно найти значения t при которых производная L'(t) будет отрицательной.
Упростим L(t), раскрыв скобки и используя основное тригонометрическое тождество, а затем найдем производную.

Осталось решить неравенство
Сначала определим точки, где левая часть обращается в ноль, а потом найдем необходимые интервалы. Получается квадратное уравнение относительно t; его решение тривиально и приводить я его не буду.
Получаем два корня,которые можно записать одним выражением:

Отсюда мы получаем область допустимых значений sin(α) ∈ [2√2/3;1] - значение 1 берем из условия, что углы больше 90° не рассматриваются.
С некоторым приближением можно записать α ∈ [70.53°;90°]
Первый (меньший) корень задает нам точку, начиная с которой расстояние  между пушкой и снарядом начинает сокращаться.

Второй (больший) корень задает точку, после прохождения которой расстояние снова начинает увеличиваться.

Но для t₂ необходимо учесть, что наши формулы рассматривают процесс движения тела до бесконечности, а в реальности снаряд может падать ниже уровня пушки лишь разве что в овраг... Поэтому достаточно ограничиться временем движения снаряда при достижении им горизонта пушки, т.е. у=0 в нашей системе координат.
Для этого находим решение уравнения у=0

Тривиальное решение t₁=0 нас не интересует, а вот t₂ - то, что нужно.
Окончательно получаем решение

Если интересует длительность промежутка времени, в который приближение происходит, она равна

Если минимум равен t₂, получаем решение