Физический маятник в виде стержня, подвешенного за верхний край, совершает малые колебания в вязкой жидкости, причем угол его отклонения от положения равновесия меняется со временем t по закону φ(t) = Ae^(-at)cos(bt), причем b = a/4. Рассчитайте на основании этих данных величину циклической частоты w0 незатухающих малых колебаний такого маятника в том случае, когда он будет совершать колебания в воздухе, и укажите правильный ответ.

высота отклонения h = l * (1-cos(a))

потенциальная энергия второго шара в этом положении E = m_2 gh

скорость второго до удара V = sqrt(2E/m_2) = sqrt(2gh) = sqrt (2gl (1-cos(a))

 

m_2 - большой шар, m_1 - меньшой шар

после упругого удара выполняется з.с импульса и энергии

m_1 V_1 + m_2 V_2 = m_2 V

m_1 V_1^2 + m_2 V_2^2 = m_2 V^2

 

отсюда

V_1 = m_2/m_1 * (V-V_2)

V_1^2 = m_2/m_1 *(V^2 - V_2^2)

 

возводим в квадрат первое и приравниваем правые части:

(m_2/m_1)^2 * (V-V_2)^2 = m_2/m_1 *(V - V_2)(V + V_2)

 

т.к V=V_2 обозначает, что второй шар промахнулся (не изменил скорости) - можем со спокойной душой поделить на (V - V_2) неравное нулю

 

(m_2/m_1) * (V-V_2) = (V + V_2)

m_2 V - m_2 V_2 = m_1 V + m_1 V_2

V (m_2 - m_1) = V_2 (m_1 + m_2)

V_2 = V * (m_2 - m_1) / (m_1 + m_2) = sqrt (2gl (1-cos(a)) (m_2 - m_1) / (m_1 + m_2) = sqrt (2*10 м/c^2 *1м (1-1/2)) (3кг-2кг)/(3кг+2кг) = sqrt(10)/5 м/c = sqrt(0.4) м/c ~ 0.63 м/c

 

уфф... все вычисления проверить. я уже спать хочу ;)

 

Потенциальная энергия отклонённого шара равна П1 = m1* g * 0.5L.

Кинетическая энергия передстолкновением К1 = 0,5 m1* V^2

П1 = К1

m1· g ·0.5L = 0,5 m1· V²

V=√gL = √g

По закону сохранения импульса

m1V  = m1v1 + m2v2

3√g = 3v1 + 2v2   (1)

По закону сохранения кинетической энергии

0.5m1·V² = 0.5m1·v1² + 0.5m2·v2²

0.5·3·g = 0.5·3·v1² + 0.5·2·v2²

1.5g = 1.5v1²+v2²  (2)

Из (1) v1 = √g - ⅔v2   (3)

Подставим (3) в (2)

1.5g = 1.5(√g - ⅔v2)²+v2²

1.5g = 1.5g - 2v2 ·√g + ⅔v2²+v2²

(5/3)v2²- 2v2 ·√g = 0

V2 =0 не является решением

v2 =1.2√g

ответ: v2 =1.2√g