Під час пострілу з гвинтівки куля масою m вилітає зі швидкістю u. Якої за модулем швидкості набуває гвинтівка , якщо її маса в 500 разів більша за масу кулі

Дано:

d₁, d₂, d₃, h₁, h₂, ρ, g

F₁ - ?

Давление, оказываемое на верхний поршень, по закону Паскаля передаётся через воду на левый нижний. Кроме того, на левый нижний также действует гидростатическое давление водного столба высотой h₁. Левый нижний жёстко связан с правым нижним. Следовательно, сила, с которой вода давит на левый нижний, передаётся с этой жёсткой связи правому нижнему. На правый нижний с правой стороны действует сила гидростатического давления водного столба высотой h₂. Такая же сила должна действовать на него и с левой стороны. Но так как правый нижний жёстко связан с левым нижним, то эта сила приложена к левому. Ну а давление на левый равно сумме гидростатического давления и давления, оказываемого на верхний:

p₁ + p = p₂

p₁ = F₁/S₁ - давление на верхний поршень

p = ρgh₁ - давления водного столба в правом сосуде

p₂ = F₂/S₂ - давление на нижний левый поршень, передаваемое водой от верхнего

F₁/S₁ + ρgh₁ = F₂/S₂

F₂ = F₃ - сила на левый поршень передаётся правому, а правый действует на воду в правом сосуде

p' = ρgh₂ - давление водного столба в правом сосуде

Нам нужно, чтобы выполнялось условие: F₂ = F₃. Выразим F₃:

p₃ = p'

F₃/S₃ = ρgh₂ => F₃ = ρgh₂*S₃, тогда:

F₂ = ρgh₂*S₃

С другой стороны мы можем выразить силу F₂ ещё вот так:

p₂ = F₂/S₂ = > F₂ = p₂*S₂ - мы уже составили уравнение для давления p₂, поэтому приравниваем выражения для F₂ и подставляем вместо p₂ его выражение:

F₂ = F₂

ρgh₂*S₃ = p₂*S₂

ρgh₂*S₃ = (p₁ + p)*S₂

ρgh₂*S₃ = (F₁/S₁ + ρgh₁)*S₂

ρgh₂*S₃ = (F₁/S₁)*S₂ + ρgh₁*S₂

ρgh₂*S₃ - ρgh₁*S₂ = (F₁/S₁)*S₂

ρg(h₂*S₃ - h₁*S₂) = (F₁/S₁)*S₂

ρg(h₂*S₃ - h₁*S₂) = F₁*(S₂/S₁) =>

=> F₁ = [ρg(h₂*S₃ - h₁*S₂)] / (S₂/S₁) = ρg(h₂*S₃ - h₁*S₂)*S₁/S₂ = ρgS₁S₃h₂/S₂ - ρgS₁h₁

Теперь надо представить каждую из площадей по другому:

S = πr² - площадь круга

r = d/2 => r² = (d/2)² = d²/4 => S = πd²/4, тогда:

F₁ = ρg(πd₁²/4)(πd₃²/4)h₂ / (πd₂²/4) - ρg(πd₁²/4)h₁ = (ρgπ²d₁²d₃²h₂/16) / (πd₂²/4) - ρgπd₁²/(4h₁) = (ρgπ²d₁²d₃²h₂/16) * 4/(πd₂²) - ρgπd₁²/(4h₁) = ρgπd₁²d₃²h₂/(4d₂²) - ρgπd₁²/(4h₁) = ρgπd₁²*(d₃²h₂/(4d₂²) - 1/(4h₁))

Окончательно:

F₁ = (ρgπd₁²/4)*(d₃²h₂/d₂² - 1/h₁)