Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник , каждый угол которого равен 120 градусам

угол многоугольника =(180(n-2))/n 

120=(180(n-2))/n

120n=180n-360

60n=360

n=6

шесть сторон

Радиус вписанной в треугольник окружности равен отношению площади этого треугольника к его полупериметру: . площадь прямоугольного треугольника равна его катетов. перепишем формулу:   . (здесь  и  - катеты,  - гипотенуза.) преобразуем числитель: . подставляем:     значит,  . но в то же время  . получаем систему уравнений:     вычитая второе уравнение из первого, получаем  , откуда  см. радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы этого треугольника. получаем, что  см.

акмd  - трапеция, вписанная в окружность. 

вписать в окружность можно только равнобедренную трапецию,    ⇒ 

авсd также равнобедренная трапеция. 

км  хорда данной окружности и  средняя линия трапеции, поэтому параллельна аd

а) см. рис.1 вложения. 

  высота авсd  равна длине отрезка, проведенного из центра в точку касания, т.е. равна радиусу окружности.

вн=d: 2=10: 2=5. 

соединим к и d

в ∆ акd вписанный угол aкd опирается на диаметр и равен 90°.  смежный ему угол вкd=90°

в ∆ авd  ak=kb, dk⊥ав, ⇒ отрезок kd  – медиана и высота. 

следовательно, ∆ авd равнобедренный, вd=ad=10

формула площади треугольника s=ab: 2

2s (abd)=bh•ad=5•10=50

другая формула площади треугольника

s=a•b•sinα: 2, где a и b – стороны треугольника, α – угол между ними.

sinα=2s: ab=50: 100=1/2 - это синус 30° 

углы при основании равнобедренного треугольника равны.

∠авd=∠ваd=(180°-30°): 2=75°

б) см. рис.2. 

радиус оn перпендикулярен хорде км    и делит её пополам.  ⇒

кт=тм= (свойство). 

∆ ако – равнобедренный. углы при основании ак из доказанного выше =75°

тогда  ∠коа=180°-2•75°=30°,  

  и угол кот=< aoт-< koa=60°--

km=2•5√3/2=5√3 (ед. длины)