Середины последовательных сторон прямоугольника, диагональ которого равна 2, соединены отрезками. найти периметр образовавшегося четырехугольника.

Прямоугольник авсд, м-середина ав, н-середина вс, к-серединасд, р-середина ад, диагонали ас=вд=2, в треугольнике авс мн - средняя линия=1/2ас=2/2=1, нк- средняя линия для треугольникавсд =1/2вд=2/2=1, рк-средняя линия для треугольника асд =1/2ас=1, мр-средняя линия для треугольникаавд=1/2вд=1 периметр мнкр=1+1+1+1=4

Стороны искомого четырёхугольника - средние линии треугольников, две стороны которых - стороны прямоугольника, а одна - его диагональ. поэтому стороны искомого четырёхугольника равны половине длины диагонали данного прямоугольника т.е. 1, поскольку все стороны равны, то периметр равен 4*1=4.

1.основанием пирамиды mabcd является квадрат abcd, ребро md перпендикулярно к плоскости основания,  ad = dm=а . найдите площадь поверхности пирамиды.  площадь поверхности пирамиды состоит из площади основания  и 2-х пар равных граней -   прямоугольных треугольников  (⊿  mda=⊿  mdc; ⊿  mab=⊿  mcb): ам и мс перпендикулярны сторонам квадрата ( по т. о 3-х перпендикулярах), а мd перпендикулярна   его плоскости по условию.  s полн= s авсd+ 2s (maв)+2s (mcd) 2s (mad)=(a² : 2)•2= a² 2s (mав)=ав•ma ma=a√2 (треугольник маd равнобедренный прямоугольный) 2s (mав)=2•(а•а√2) : 2= а²√2 s(abcd)=a² s полн=a²+а²+a²√2= a²(2+√2)   2. основание прямого параллелепипеда  авсda’b’c’d'  - параллелограмм авсд, стороны которого равны а√2  и 2а , острый угол равен 45°. высота параллелепипеда равна меньшей высоте параллелограмма. найдите:   а) меньшую высоту параллелограмма;   б)угол между плоскостью авс1 и плоскостью основания; в)площадь боковой поверхности параллелепипеда; г)площадь поверхности  параллелепипеда.

а) 

меньшая высота cнпараллелограмма abcd идет из вершины c к большей его стороне ав.

∆ всн - прямоугольный, угол свн=45° по условию.=>

сн=вс•sin45°=a√2•√2/2=a

б)

параллелепипед прямой,⇒  ребро сс’ перпендикулярно плоскости основания и сторонам и  является высотой параллелепипеда. 

сс’=ch=a

  сн перпендикулярна ав, с'н⊥ав по т. о 3-х перпендикулярах 

а   так как сс’=сh (по условию), треугольник нсс’ равнобедренный прямоугольный.

  угол снс’ между плоскостью авс1 и плоскостью основания из равнобедренного прямоугольного  треугольника снс’=45°

в) 

площадь боковой поверхности параллелепипеда равна произведению его периметра на высоту:

s бок=2•( 2а+а√2)•а=4а²+2а²√2=2а²(2+√2)

г) 

площадь поверхности  параллелепипеда  - сумма площадей  2-х оснований  и  боковой поверхности.

s (abcd)=сh•aв=a•2a=2a²

оснований два.   

s полн=2•2a²+2а²(2+√2)=2а²(4+√2)

видимо, в основании лежит параллелограмм, надо было это написать : )

диагональ d прямого параллелепипеда в прямоугольном тр-ке, образованном этой диагональю, диагональю основания d и боковым ребром c, является гипотенузой.

заданы d1 = 12 и с = 5

по теореме пифагора:

d1^2 = d1^2 + c^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169

d1 = sqrt(169) = 13

найдём вторую диагональ d2 параллелограмма, являющегося основанием параллелепипеда. cтороны параллелограмма заданы а = 6 и b = 8.

для этого используем теорему косинусов для обеих диагоналей d1 и d2

d1^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos (alfa)

d2^2 = a^2 + b^2 + 2ab cos (alfa)

если сложить эти уравнения, то получим

d1^2 +  d2^2 = 2(a^2 + b^2)

d2^2 = 2(a^2 + b^2) - d1^2

d2^2 = 2(6^2 + 8^2) - 12^2 = 2(36 + 64) - 144 = 2 * 100 -144 = 200 - 144 = 56

теперь мы можем найти и 2-ю диагональ параллелепипеда d2 так же, как нашли 1-ю, т.е по теореме пифагора:

d2^2 = d2^2 + c^2 = 56 + 5^2 = 56 + 25 = 81

d2 = sqrt(81) = 9

ответ: диагонали параллелепипеда равны 13см и 9 см.