Все рёбра тетраэдра (тругольн.пирамида) abcd равны друг другу (например a m и n - середины рёбер ad и bc. докажите, что скалярное произведение векторов mn*ad =0

Точки m и n на тетраэдре можешь отметить сама. рассмотрим треугольник adn с медианой  mn,   найдем отрезки dn и an:   треугольники   dbn и anc равны по двум сторонам и углу между ними (по условию тетраэдр правильный), значит   dn = an,  треугольник adn  равнобедренный,  медиана mn является высотой, следовательно векторы  mn и  ad перпендикулярны   и  0 mn*ad =0.

пусть ab=26, а bc=32, а угол abc=150 градусов. тогда, рассмотрим треугольник abc:

по теореме косинусов ac^2=ab^2+bc^2-2*ab*bc*cosabc

потом рассмотришь треугольник bdc, в котором угол bcd=30 градусов (сумма соседних углов в паралеллограмме равна 180 градусам)

по теореме косинусов bd^2=cd^2+bc^2-2*cd*bc*cosbcd

потом из треугольника boc опять же по теореме косинусов находишь косинус угла boc

по основному тригонометрическому тождеству (sin^2(x) + cos^2(x)=1) находишь синус угла boc

потом применяешь формулу площади параллелограмма: s=1/2*bd*ac*sinboc

по определению площадь параллелограмма: s=ah, где а - большая сторона, а h - высота.

найдём h. если у нас параллелограмм abcd ( буквы расставлены с нижней левой выршины и далее по часовой стрелке ), то проведём из вершины b перпендикуляр на ad, получим отрезок bh - это и есть высота (h). далее из прямоугольного треугольника abh найдём bh. т.к. угол между сторонами равен 150 градусов ( это угол abc ), то угол bad будет равен 30 градусам. синус этого угла будет равен: sin30=bh/ab ( т.к. синус угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе ) , откуда bh=absin30. теперь мы знаем высоту и сторону => можем найти площадь. подставим полученные   значения в формулу для площади и получим: s=bc*ab*sin30=7*4*1/2=14 (см^2).