На стороне cd квадрата abcd лежит точка p так, что cp равно pd, o точка пересечения диагоналей. выразите векторы: bo, bp, pa через векторы х=ba и у=bc.

Bp=bc+cp bp=y+0,5x pa=pd+da pa=0,5x-y

Диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам и образуют 4 равных прямоугольных треугольника(половинки диагоналей это катеты, а сторона ромба гипотенуза) , пусть a,b катеты,   с гипотенуза сумма катетов : также вспомним теорему пифагора:     объединим оба уравнения в систему: выразим из второго уравнения а (подстановка) подставим в первое уравнение это уравнение, решаем по т.виета подставляем оба найденных корня в подстановку как мы видим ответом систем являются пары чисел (15; 20) и (20; 15) ,не имеет значения в каком порядке расположены числа, мы нашли половины диагоналей. площадь ромба можно найти по формуле:

Первый треугольник  h -высота  v и w - углы треугольника  второй треугольник  h1 - высота  v1 и w1 - углы треуг.  h=h1  v=v1  w=w1  рассмотрим 1 треугольник: высота делит его на два прямоугольных треугольника, назовем их а и б. рассмотрим треугольник а: нам известен его катет (который является высотой начального треугольника) и угол v (который является общим у треугольника а и начального треуг.) нам нужно узнать неизвестный угол прямоугольного треугольника а. нам известен угол v, поэтому неизвестный нам угол равен 90-v. таким же образом во втором начальном треугольнике высота делит треугольник на два прямоугольных треуг а1 и б1. находим неизвестный угол он будет равен 90-v1, а т.к. v=v1 то неизвестные нам углы равны. соответственно треугольник а равен треуг а1, по второму признаку равенства треугольников (если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему углу другого, то такие треугольники равны).  таким же образом доказываем что треугольники б и б1 равны.  из этих двух доказательств следует что гипотенузы треугольников а и а1 равны, и гипотенузы треугольников б и б1 тоже равны, а эти гипотенузы являются сторонами начального треугольника. третья сторона равна каждого из этих треугольников равна, сумме катетов прямоугольных треугольников а и б (а1 и б1), и соответственно третьи стороны данных треугольников тоже равны, следовательно первый и второй треугольники равны по трем сторонам