Вкубе abcda1b1c1d1 с ребром 6 проведено сечение через середины ребер cc1, ab и ad, разделившее куб на два многогранника. для каждого из них найдите количество вершин, ребер, граней и диагоналей. в многограннике, вершиной которого служит точка а, найдите длину наибольшего отрезка.

Ну, сечением будет неправильный пятиугольник. две его вершины будут лежать на ребрах вв1 и dd1 на расстоянии 1 от грани abcd (это на ответ никак не влияет, поэтому я и не пишу, как это найдено). многогранник с вершиной в точке  с - это пятиугольная пирамида. у неё 10 ребер, 6 вершин и 6 граней. многогранник с вершиной в точке а. в "сравнении с начальным кубом" из 8 вершин  он потерял вершину с, но приобрел 5 вершин сечения, всего стало 12 вершин. все 6 граней куба являются (частично) гранями этого многогранника, "плюс" сечение, всего 7. так же и ребра - все 12 ребер куба (частично) являются ребрами этого многогранника, "плюс" 5 сторон  сечения, всего 17. для этого многогранника "наибольший отрезок" очевидно равен большой диагонали куба ac1, то есть 6 √3

трапеция - четырехугольник.  в четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны. 

  сумма длин боковых сторон данной трапеции равна сумме оснований и равна ее полупериметру. 

вс+ад=ав+сд=120: 2=60

площадь трапеции равна произведению ее высоты на полусумму оснований ( среднюю линию)

средняя линия равна (ад+вс): 2=30

вн и ск - высоты трапеции. 

высоту вн трапеции найдем, разделив площадь на полусумму оснований 

вн= 540*30=18

трапеция равнобедренная  ⇒  ан=кд

из прямоугольного треугольника авн найдем ан:

ан=√(30²-18²)=24

вс+нк+ан+кд=60

вс=нк; ан=дк

2 вс+2*24=60

2 вс=12

вс=6

треугольники, образованные диагоналями и основаниями, подобны. 

сумма их высот равна высоте трапеции =18 

пусть высота меньшего х, высота большего - 18-х

тогда вс: ад=х: (18-х)

6: (6+48)=х: (18-х) 

решив пропорцию, получим высоту меньшего треугольника 1,8. 

это и есть искомое расстояние. 

Площадь параллелограмма равна произведению высоты и стороны, к которой проведена высота. сторона параллелограмма дана вс=19. необходимо найти высоту h. вообще-то она равна 14, т.е. удвоенное расстояние от точки к до стороны ав. надо доказать,что расстояние от точки к до стороны вс равно расстоянию от точки к до стороны ав. соединим концы биссектрис углов а и в и обозначим буквами m и  n. полученная фигура abnm - ромб. доказывается равнобедренность треугольников abn и amn через равенство противолежащих углов. проведем перпендикуляры из точки к к сторонам вс и ad. они равны как высоты равных треугольников и равны расстоянию от точки к к стороне ав, т. е. равны 7. таким образом высота параллелограмма равна 14. площадь равна 14*19