Площадь ромба равна 45 дм2. высота меньше стороны на 4 см. найдите диагонали ромба.

Пусть bc=a, ac=b, ab=c, p=a+b+c и r - радиус вписанной окружности. тогда т.к. cos(abc)=1/2, то по т. косинусов b²=a²+c²-aс. кроме того, a²+c²=(a+c)²-2ac=(p-b)²-2ac, значит подставляя это в т. косинусов, получим  b²=(p-b)²-2ac-aс, откуда ac=((p-b)²-b²)/3=(p-2b)p/3. значит площадь s треугольника abc равна s=(1/2)*ac*sin(60°)=(p-2b)p/(4√3)=p*r/2, откуда r=(p-2b)/(2√3)=(15-2·6)/(2√(3π))=√3/(2√π). значит площадь вписанного круга равна π·r²=π·3/(4π)=3/4. 2 способ (более короткий). если обозначить через x,y,z отрезки на которые точки касания вписанной окружности разбивают стороны треугольника, то получим x+y+z=p/2 и x+y=b, откуда z=p/2-b. т.к центр впис. окружности лежит на биссектрисе угла в 60 градусов, то r=z·ctg(30°)=(p-2b)/(2√3).

Пусть сторона куба равна а. внутри куба находится точка е, которая является вершиной всех шести пирамид. в двух пирамидах, основаниями которых являются противоположные грани куба, высоты лежат на одной прямой и их сумма равна стороне куба: h₁+h₂=a. объём пирамиды: v=a²h/3. сумма объёмов этих двух пирамид: v1+v2=a²h₁/3+a²h₂/3=(a²/3)·(h₁+h₂)=a³/3. таким же  образом получаем суммы объёмов оставшихся пар пирамид, с противолежащими основаниями. все они равны а³/3. из условия можно заметить, что 5+17=8+14=22 - это сумма объёмов пирамид с противолежащими основаниями, значит объём шестой пирамиды равен  22-6=16 (ед³) - это ответ.