Вравнобедренный треугольник abc с основанием ac вписан ромб amnp, периметр которого 36 см, так, что m∈ab, n∈cb, p∈ac. определите стороны треугольника, если основание его 51 см.

Такого треугольника  не существует! для начала найдем сторону ромба=36/4=9 cм.(у ромба все стороны равны) даже если мы логически поразмышляем, то поймем, что не те расстояния! точка n не может принадлежать cb!

Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2: 1, считая от одна медиана разобьется на отрезки 4 и 2, другая -- 3 и 1.5 получившийся треугольник со сторонами 3, 4 и 5 -- прямоугольный ("египетский" значит, и еще три треугольника рядом -- тоже площадь прямоугольного треугольника = половине произведения его 3*4/2 = 6 3*2/2 = 3 4*1.5/2 = 3 2*1.5/2 = 1.5 эти четыре прямоугольных треугольника все вместе образуют трапецию с площадью 6+3+3+1.5 = 13.5 ((т.к. основания медиан, если их соединить, дадут среднюю линию средняя линия отрезает от данного треугольника треугольник, подобный данному с коэффициентом подобия (1: 2) значит, площади данного треугольника и отрезанного относятся как 4: 1, т.е. на трапецию остается (3/4) от площади данного треугольника и эти (3/4) составляют 13.5 тогда целое = 13.5 / (3/4) = 13.5 * 4/3 = 27*2/3 = 9*2 =  18

Нужно провести радиусы вписанной окружности -- они будут _|_ сторонам треугольника в прямом углу треугольника радиусы "вырежут" квадрат со  стороной 5 см если оставшиеся части катетов обозначить х и у, т.е. один катет = х+5 второй катет = у+5, то гипотенуза треугольника окажется = х+у ((т.к. отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, т.к. один острый угол треугольника -- 60 градусов, то второй угол = 30 катет, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине 2(х+5) = х+у  х = у - 10 и теперь т. (у-10+у)^2 = (y+5)^2 + (y-10+5)^2 4y^2 - 40y + 100 = y^2 + 10y + 25 + y^2 - 10y + 25 y^2 - 20y + 25 = 0 d = 20*20 - 4*25 = 300 (y)1; 2 = (20 +- 10√3) / 2 = 10 +- 5√3 y1 = 10-5√3 > x1 = -5√3 --т.е. катеты равны: 15-5√3 и 5-5√3 второе выражение 5-5√3 = 5(1-√3) -- меньше нуля -- не y2 =  10+5√3 > x2 = 5√3 --т.е. катеты равны:   15+5√3 и 5+5√3 s = ab/2 = (15+5√3)*(5+5√3) / 2 = 5(3+√3)*5*(1+√3) / 2 = 25(3+4√3+3) / 2 =  = 25(6+4√3) / 2 = 25(3+2√3) = 75+50√3