Стороны треугольника равны 2, 5, 1, 5 и 3 см. найдите стороны подобного ему треугольника, наибольшая сторона которого равна 9 см.

Вектор ав = (8-7=1; -)=1; 13-15=-2) = (1; 1; -2). вектор сд = (-1-2=-3; )=3; 4-5=-1)   =   (-3; 3; -1)

найдем  скалярное произведение векторов:

a  ·  b  =  ax  ·  bx  +  ay  ·  by  +  az  ·  bz  =  1  ·  (-3)  +  1  ·  3  +  (-2)  ·  (-1)  =  -3  +  3  +  2  = =  2.

найдем  длины векторов:

|a|  =  √( ax²   +  ay²   +  az²)  =  √( 1²   +  1²   +  (-2)²)  =  √(1  +  1  +  )  =  √6 |b|  =  √ bx²   +  by²   +  bz²  =  √( (-3)²   +  3²   +  (-1)²)  =  √(9  +  9  +  1)  =  √19

найдем  угол между векторами:

cos α  = (a  ·  b)|a||b| cos α  =  2/(√6*√19)  = 2/√114  ≈  0.187317.

Срединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке - центре описанной около него окружности. известно, что только в прямоугольном тр-ке  центр описанной окружности лежит на одной из его сторон - гипотенузе, причём на её середине, так как он равноудалён от вершин треугольника. рассмотрим подробно. тр-ки авр и арс равнобедренные, т.к. рм⊥ав и рк⊥ас, вм=ам и ак=кс, значит рм и рк - высоты и медианы (признак равнобедренности тр-ка). рм и рк - биссектрисы тр-ков авр и арс, углы вра и арс - смежные, значит рм⊥рк. углы между соответственно перпендикулярными прямыми равны. рм⊥ав, рк⊥ас, рм⊥рк, значит ав⊥ас  ⇒  ∠а=90°. доказано.