Найдите скалярное произведение векторов a и b, если а) a(2; -3; 1) и b = 3i+2k

Объяснение:

Биссектриса угла В и биссектриса внешнего угла D прямоугольника ABCD пересекают сторону AD и прямую АВ в точках М и К соответственно. Докажите, что отрезок МК равен и перпендикулярен диагонали прямоугольника.

2. В равнобедренном треугольнике АВС на боковой стороне ВС отмечена точка М так, что отрезок СМ равен высоте треугольника, проведенной к этой стороне, а на боковой стороне АВ отмечена точка К так, что угол КМС – прямой. Найдите угол АСК.

3. Из листа бумаги в клетку вырезали квадрат 2×2. Используя только линейку без делений и не выходя за пределы квадрата, разделите диагональ квадрата на 6 равных частей.

4. В трапеции ABCD: AB = BC = CD, CH – высота. Докажите, что перпендикуляр, опущенный из Н на АС, проходит через середину BD.

5. Пусть AA1 и BB1 – высоты неравнобедренного остроугольного треугольника АВС, М – середина АВ. Окружности, описанные около треугольников AMA1 и BMB1 пересекают прямые АС и ВС в точках К и L соответственно. Докажите, что К, М и L лежат на одной прямой.

6. Один треугольник лежит внутри другого. Докажите, что хотя бы одна из двух наименьших сторон (из шести) является стороной внутреннего треугольника.

10–11 класс

1. AD и BE – высоты треугольника АВС. Оказалось, что точка C', симметричная вершине С относительно середины отрезка DE, лежит на стороне AB. Докажите, что АВ – касательная к окружности, описанной около треугольника DEC'.

2. Прямая а пересекает плоскость α. Известно, что в этой плоскости найдутся 2011 прямых, равноудаленных от а и не пересекающих a. Верно ли, что а перпендикулярна α?

3. Дана неравнобокая трапеция ABCD (AB||CD). Произвольная окружность, проходящая через точки А и В, пересекает боковые стороны трапеции в точках P и Q, а диагонали – в точках M и N. Докажите, что прямые PQ, MN и CD пересекаются в одной точке.

4. Докажите, что любой жесткий плоский треугольник T площади меньше четырёх можно просунуть сквозь треугольную дырку Q площади 3.

5. В выпуклом четырехугольнике ABCD: AC ⊥ BD, ∠BCA = 10°, ∠BDA = 20°, ∠BAC = 40°. Найдите ∠BDC. (ответ выразите в градусах.)

6. Пусть AA1, BB1 и CC1 – высоты неравнобедренного остроугольного треугольника АВС; окружности, описанные около треугольников АВС и A1B1C, вторично пересекаются в точке Р, Z – точка пересечения касательных к описанной окружности треугольника АВС, проведённых в точках А и В. Докажите, что прямые АР, ВС и ZC1 пересекаются в одной точке.

A1. δabc: ∠авс = 90°, по теореме пифагора             вс = √(ас² - ав²) = √(625 - 576) = √49 = 7 см sabcd = ab·bc = 24 · 7 = 168 cм² а2. ∠с = 90°, ∠b = 60°, ⇒ ∠a = 30°. cb = ab/2 = 40/2 = 20 см как катет, лежащий напротив угла в 30°. по теореме пифагора ас = √(ав² - св²) = √(1600 - 400) = √1200 = 20√3 см sabc = 1/2 · ac · bc = 1/2 · 20√3 · 20 = 200√3 см² а3. sabcd = ac · bd /2 = 14 · 6 / 2 = 42 см² а4. кн = 16 см - высота трапеции. δabd = δdca по двум сторонам и углу между ними (ab = cd так как трапеция равнобедренная, ad - общая, ∠bad = ∠cda как углы при основании равнобедренной трапеции), ⇒ ∠cad = ∠bda, ⇒ ao = od. δaod равнобедренный прямоугольный, значит он - высота и медиана. он = ad/2 так как медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна ее половине. аналогично, ок = вс/2. кн = ко + он = ad/2 + bc/2 = (ad + bc)/2 = 16 см ⇒ sabcd = (ad + bc)/2 · kh = 16 ·16 = 256 см² вообще, в равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями высота равна ее средней линии. в1. пусть к и м - середины оснований. обозначим ам = md = a, bk = kc = b. abkm и mkcd - трапеции, имеющие общую высоту кн = h. sabkm = (a + b)/2 ·h smkcd =  (a + b)/2 ·h, ⇒ sabkm = smkcd