Сумма длин трёх измерений прямоугольного параллелепипеда abcda1b1c1d1 равна 30, ab: a1a: ad=4: 1: 5. найдите наибольшую из диагоналей граней параллелепипеда

Введем коэффициент пропорциональности . по сути мы перепишем отношение наших сторон вот так: сумма сторон в таком случае будет равна . отсюда найдем . отсюда очевидно, что наибольшая диагональ лежит на той грани, у которой стороны имеют наибольшие длины. это стороны, например, и . по теореме пифагора найдем диагональ:

S= a * b / 2 = 279p = a + b + c = 90  вычислим сторону из площадиa*b=558b = 558/a 1)а*b=558a+b+c=90a^2+b^2=c^2 2) a+b+c=90с = 90 - а - bc=90-a-b=90-a-558/a=90-(a^2+558)/aтеорема пифагораa^2+b^2=c^2подставляем значенияa^2+311364/a^2=(90-(a^2+558)/a)^2a^4+311364=а^2 * (90-(a^2+558)/a)^2a^4+311364=а^2 * (8100- 180(a^2+558)/a + (a^2+558)/a)^2)a^4+311364=а^2 * (8100 - (180a^2 + 180 *558)/a + (a^2+558)^2/a^2)a^4+311364=а^2 * (8100 - (180a^2 + 100440)/a + (a^2+ 2*a*558 + 558*558)/a^2)a^4+311364=а^2 * (8100 - 180a - 100440/a + 1 + 1116a + 311364/a^2)a^4+311364= 8100а^2 - 180а^3 - 100440a + а^2 + 1116а^3 + 311364a^4+311364 - 311364= 8100а^2 - 180а^3 - 100440a + а^2 + 1116а^3  a^4 = 8100а^2 - 180а^3 - 100440a + а^2 + 1116а^3  решить уравнение методом подстановки 

Ну вот сегодня что-то не вышло у меня найти "красивое решение". может, потом что-то в голову придет. но тупое решение я конечно нашел, тут только на вид сложно. пояснения к рисунку. стороны треугольника я обозначил буквами a, b, c, напротив стороны a по условию лежит угол ∠a = 120°; l - биссектриса этого угла. буквами x и y я обозначил отрезки сторон от вершины a до концов биссектрис. стороны треугольника с вершинами в концах биссектрис я обозначил, как k, m, n; нужно доказать, что k^2 = m^2 + n^2; тогда треугольник - прямоугольный. по ходу решения понадобится выразить длину биссектрисы через стороны, я для этого воспользуюсь вот чем. 2*s = bc*sin(a) = bl*sin(a/2) + cl*sin(a/2); l = 2bc*cos(a/2)/(b + c) = bc/(b + c); длины отрезков x и y также легко найти, и они похожи на l x = bc/(a + b); y = bc/(a + c); это элементарно находится из свойства биссектрисы. теперь можно приступить к решению. из теоремы косинусов легко найти k^2 = x^2 + y^2 + xy; m^2 = l^2 + x^2 - xl; n^2 = l^2 + y^2 - yl; кроме того, для всего треугольника тоже есть связь a^2 = c^2 + b^2 + bc; легко видеть, что надо доказать, что 2l^2 = xl + yl + xy; или 2/(b+c)^2 = 1/(b+c)(a+b) + 1/(a+c)(b+c) + 1/(a+b)(a+c); или (что тоже самое, все преобразования - обратимы) 2(a+c)(a+b) = (a+b)(b+c) + (a+c)(b+c) + (b+c)^2; если будет доказано это, то, делая обратные манипуляции, можно показать, что для  k, m, n выполняется теорема пифагора, что и нужно. но последнее соотношение легко получить из a^2 = c^2 + b^2 +cb; => a^2 + ab + ac + bc = c^2 + b^2 + 2cb + ab + ac; => (a + b)(a+c) = (b+c)(a + b + c); => 2(a+c)(a+b) = (a+b)(b+c) + (a+c)(b+c) + (b+c)^2; откуда следует k^2 = m^2 + n^2; и треугольник прямоугольный.