Вравнобедренной трапеции большее основание в два раза превосходит меньшее. середина большего основания удалена от вершины тупого угла на расстояние, равное длине меньшего основания. найдите углы трапеции.

60-острые углы

120 тупые углы

Авс - правильный треугольник со стороной  а. ао - радиус описанной окружности. r=ао=а√3/3.   ∠аов=∠вос=аос=360/3=120°. так как точка м - середина дуги ав, то  ∠аом=∠аов/2=60°. соответственно  ∠аоn=60°, а  ∠mon=120°. большая дуга mn равна 360-∠mon=360-120=240°. вписанный угол  man опирается на дугу mn и равен её половине.  ∠man=∩mn/2=240/2=120°. треугольники amn и omn равны, т.к. оба равнобедренные, у них общее основание и углы при вершинах равны, значит углы при основании тоже равны. соответственно  δomn=δobc, значит mn=bc=a. в четырёхугольнике amon стороны равны, значит он ромб, значит ар=ро. ар=r/2=а√3/6. в правильном  треугольнике аен ар - высота. для правильного тр-ка h=a√3/2 (здесь а другая,  только для формулы)  ⇒ а=2h/√3. ен=2·ар/√3=2·а√3/(6√3)=а/3 (здесь а - сторона тр-ка авс. а=ав). mn=a, ен  =а/3. исходя из симметрии построенного чертежа,  δamp=δanp, значит ме=nн. ме=nн=(mn-ен)/2=(а-а/3)/2=а/3. ме=ен=nн=а/3. доказано.

Ав и cd - скрещивающиеся расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию от прямой до плоскости, в которой лежит другая прямая. пусть о – середина db1 м – середина ав ом – это и есть расстояние между прямыми ав и db1 δ aa1b1,  ∠a1=90° по т. пифагора aв1 =  √(aa1^2+a1b1^2)=√(2^2+2^2)=√(4+4)=√8=√(4*2)=2√2 δ ab1d,  ∠а=90° по т. пифагора b1d =  √(ad^2+ab1^2)=√(2^2+(2√2)^2)=√(4+8)=√12=2√3 b1d: 2=(2√3): 2=√3=do δ amd,  ∠а=90° по т. пифагора md =  √(ad^2+am^2)=√(2^2+1^2)=√(4+1)=√5 δ mod,  ∠o=90° по т. пифагора bo =  √(md^2  –  od^2)=√((√5)^2+(√3)^2)=√(5+3)=√8=√(4*2)=2√2 ответ: 2√2