Вромбе abcd вектор ac=12, вектор bd=16. от вершин a и b отложены векторы ae и bk, равные bd и ac соответственно. найдите длину вектора ke.

в телах, "подобных" друг другу (то есть, когда одно получается из другого пропорциональным изменением масштабов), объём пропорционален кубу линейного размера.

поэтому объем малого и большого конусов относятся, как (r/r)^3, а объем усеченного конуса составляет 1-(r/r)^3 от объема большого (у которого в основании r> r)

на самом деле, в этом очевидном решении легко навести "строгость".

высоты малого и большого конусов пропорциональны радиусам, а площади - квадратам радиусов. поэтому объем пропорционален радиусу в кубе. 

abcd - параллелограмм.   ab = 2 см,   bc = 4 см,   ac = 2√3 см

по теореме косинусов диагонали параллелограмма

ac² = ab² + bc² - 2 ab · bc · cos ∠b

bd² = ab² + ad² - 2 ab · ad · cos ∠a =

        = ab² + ad² - 2 ab · ad · cos (180° - ∠b) =

      = ab² + ad² + 2 ab · ad · cos ∠b

так как   ad = bc   ⇒

bd² = ab² + bc² + 2 ab · bc · cos ∠b

складываем почленно квадраты диагоналей.

ac² + bd² = ab² + ab² + bc² + bc²

bd² = 2 ab² + 2 bc² - ac² = 2·2² + 2·4² - (2√3)² =

      = 8 + 32 - 12 = 28

bd = √28 = 2√7 см

ответ :   bd = 2√7 см