Треугольник abc угол b=4 bc=6 bd-биссектриса угол abc=45 градусов найдите площадь треугольника abd и cbd

ромб abcd,   окружность проходит через точки   a, b, c

ak = 5 см;   кс = 1, 4 см   ⇒       ас = ак + кс = 5 + 1,4 = 6,4 см

у ромба диагонали перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам :   ac⊥bd;   ao=oc = ac/2 = 6,4 /2 = 3,2 см;   bo=od.

ak⊥bd   и делит хорду   bd   пополам   ⇒   ak - диаметр окружности.

δabk - прямоугольный, так как сторона ak является диаметром описанной окружности.

высота треугольника, проведенная из прямого угла на гипотенузу, есть среднее проекций катетов на гипотенузу :

bo² = ao·ok = ao·(ak-ao) = 3,2·(5-3,2) = 3,2·1,8 = 5,76 = 2,4²

bo = 2,4 см

δaob образован диагоналями, прямоугольный. теорема пифагора

ab² = ao² + bo² = 3,2²+2,4² = 10,24+5,76= 16 = 4²

ab = 4 см

ответ: сторона ромба равна 4 см

1

решение:

1) углы при основании равны, тогда угол а=углу д=45 градусов,

2) проведем высоты вн и см

3) рассмотрим четырехугольник внмс

он будет параллелограммом, т.к. вн || сн как высоты, вс || нм как основания

тогда вн=сн, вс=нм по св-ву параллелограмма

4) меньшее основание - вс, тогда ан+мд=11-5=6 см.

5) прямоугольные треугольники авн и мвс будут равны, т.к. у обоих углы равны 45 градусов, и гипотенуза равны (т.к. трапеция равнобедренная).

6) ан=мд=6: 2=3 см. (как соответственные элементы)

7) треугольник авн - равнобедренный, тогда вн=ан=3 см

8) площадь трапеции равна половине произведения оснований, помноженное на высоту, т.е. 11+5/2 * 3 = 24 см.2

 

3

решение:

трапеция авсд. угол а и с = 90 градусов, треугольник всд - равнобедренный, тогда углы при основании равны по 30 градусов, тогда сд = 2√3, тогда проведем высоту см, чет-к авсм будет параллелограммом (док-во в 1-ой ), тогда вс = ам = 2√3, треугольник авд - прямоугольный, угол вда равен 30 градусов, угол д равен 60 градусов, тогда дм =  √3, по теореме пифагора см равно 3 см.

площадь равна половине произведения оснований на высоту, т.е. 2√3+3√3/2 * 3 = 2,5√3 * 3 = 7,5√3 см2

 

4

решение:

1) периметр трапеции равен ав+вс+сд+ад, тогда ав+вд=64-24-30=10

ав=вд=5 см., т.к. трапеция равнобедренная.

2) проведем высоты вн и см, тогда четырехугольник внмс будет параллелограммом, т.к. вн || см (высоты), вс || нм (как основания)

вс=нм, вн=см по св-ву параллелограмма.

3) нм=24, тогда ан+мд=30-24=6, а ан=мд, т.к. прямоугольные треугольники равны (док-во из первой )

ан=мд=3 см.

по теореме пифагора найдем вн=4

4) площадь трапеции равна половине произведения оснований, помноженное на высоту, т.е. 24+30/2 * 4=108 см.2