Основание равнобокой трапеции 8 см и 16 см, абоковая сторона относится к высоте как 5 к 3. найдите периметр трапеции.

Решение:   пусть боковая сторона равна 5х, тогда высота=3х. получаем прямоугольный треугольник со сторонами: 5х; 3х; 4  по т. пифагора имеем:   25x²=9x²+16  16x²=16  x²=1  x=1  следовательно боковые стороны равны 5  р=5*2+8+16=34 (см)

Есть такая формула для площади произвольного четырёхугольника с диагоналями d₁, d₂, угол между которыми φ: s = ½ d₁d₂ sin φ. в случае ромба (угол между диагоналями прямой) это даёт s = ½ d₁d₂ = ½·14·48 = 336. с другой стороны, s = ah, где a — сторона, h — высота ромба. сторону можно найти по теореме пифагора, рассмотрев треугольник-четвертинку ромба: a² = (14/2)² + (48/2)² = 49 + 576 = 625 = 25², a = 25. следовательно, 336 = s = 25h, откуда h = 13,44 (см) . в общем виде: s = ½ d₁d₂ = ah = ½√(d₁² + d₂²) · h, h = d₁d₂/√(d₁² + d₂²). с трапецией всё хуже. только через диагонали (не зная ещё какого-нибудь элемента) площадь выразить не получится. ========== добавление пусть abcd — трапеция (bc < da — основания) . проведём через вершину c прямую ce || bd до пересечения с прямой da. bced — параллелограмм. диагональ cd делит его на два треугольника одинаковой площади. поэтому s(abcd) = s(abd) + s(bcd) = s(abd) + s(cde) = s(acd) + s(cde) = s(ace). у треугольника ace стороны равны d₁ и d₂, высота h. ae = √(ac² − h²) + √(ce² − h²) = = √(d₁² − h²) + √(d₂² − h²). s(abcd) = s(ace) = ½ (√(d₁² − h²) + √(d₂² − h²)) h.

вот на ваш суд такой вариант (я его дал в

треугольники вом и aod подобны по двум углам (< aod=< bom как вертикальные, а < oаd=< bmа как накрест лежащие при параллельных вс и ad и секущей ам). коэффициент подобия равен k=bm/ad=1/2. тогда ом=(1/3)*ам, od=(2/3)*ad.

если речь идет о векторах, то мы видим, что вектор ор=ом+мр, причем вектор ом=(1/3)*ам = (1/3)(ав+bm) = (1/3)(ав+ad/2) =ab/3+ad/6. вектор mp=mc+cp = ad/2-ab/2. тогда

ор=ом+мр = ab/3+ad/6+ad/2-ab/2 = (2/3)*ad - (1/6)*ab.

или так: вектор ор=оd+dр, причем вектор оd=(2/3)*bd.

вектор bd=ad-ab. тогда вектор od=(2/3)*ad-(2/3)*ab.

ор=оd+dр = (2/3)*ad-(2/3)*ab+ab/2 = (2/3)*ad - (1/6)*ab.

следовательно

ор < (2/3)*ad + (1/6)*ab, что и требовалось доказать.