Через вершину а прямоугольника abcd проведена наклонная ам к плоскости прямоугольника, составляющая углы альфа со сторонами ad и ab. найдите sinальфа, если угол между этой наклонной и плоскостью прямоугольника равен фи

Пусть мо⊥(авс). проведем он⊥ad и ок⊥ав. он и ок- проекции наклонных мн и мк на плоскость прямоугольника, тогда и мн⊥ad, мк⊥ав по теореме о трех перпендикулярах. ∠мао = φ - угол между наклонной ам и плоскостью прямоугольника, ∠ман = ∠мак = α - угол между наклонной ам и сторонами ad и ав прямоугольника. δман = δмак по гипотенузе и острому углу (ам общая, ∠ман = ∠мак = α), значит ак = ан, и значит акон - квадрат и ао - его диагональ, а следовательно и биссектриса угла bad. стоит запомнить, что наклонная, проведенная через вершину угла, лежащего в плоскости, и образующая равные углы с его сторонами, проецируется на биссектрису этого угла. пусть а -  сторона квадрата акон. тогда ао = а√2, как диагональ квадрата. δамо: ам = ao / cos φ = a√2 / cos φ δamh: cos α = ан / am =  a / (a√2 / cos φ) = cos φ / √2 sin α = √(1 - cos²α)

Подобного рода решаются одинаково. если две  хорды  окружности ав и   cd пересекаются  в точке   е,  то произведение отрезков одной  хорды  равно произведению отрезков другой  хорды: ае•ве=се•ed.длина отрезков, на которые в точке пересечения делится cd, не указана, но дано их отношение   ce : de = 2: 4  примем коэффициент отношения  ce : de равным k.  тогда 5•25=2k•4k125=8k² √125=√8a² 5√5=2a√2⇒ тогда се=2•1,25•√10=2,5√10 ed=4•1,25√10=5√10 cd=5√10+2,5√10=7,5√10

(1 свойство параллелограмма) в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.  рассмотрим параллелограмм abcd.диагональ ac разделяет его на два треугольника: abc и adc. эти треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам (ac- общая сторона, < 1=< 2 и < 3=< 4 как накрест лежащие углы при пересечении секущей ac параллельных прямых ab и cd, ad и bc соответственно).поэтому ab=cd, ad=bc и < b=< d. далее, пользуясь равенствами углов 1 и 2, 3 и 4, получаем < a=< 1+< 3=< 2+< 4=< c. (2 свойство параллелограмма) диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. пусть o - точка пересечения диагоналей ac и bd параллелограмма abcd. треугольники aob и cod равны по стороне и двум прилежащим углам (ab=cd как противоположные стороны параллелограмма, < 1=< 2 и < 3=< 4 как накрест лежащие   углы при пересечении параллельных прямых ab и   cd секущими ac и bd соответственно). поэтому ao=oc и ob=od, что и требовалось доказать.