Через вершину равностороннего треугольника abc проведена прямая am перпендикулярная плоскости треугольника abc. найдите расстояние между прямыми am и bc, если периметр треугольника равен 42√3 см

Вс⊂(авс), ма∩(авс) = а, а∉вс, значит прямые ам и вс скрещивающиеся. проведем ан⊥вс. ам⊥(авс), значит она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, т.е. ам⊥ан. тогда ан - искомое расстояние. так как авс равносторонний треугольник, то ав = ас = вс = рabc/3 = 42√3/3 = 14√3 см ан = вс√3/2 как высота равностороннего треугольника. ан = 14√3·√3/2 = 7 · 3 = 21 см

расстоянием от точки до прямой называет длина перпендикуляра, проведённого из этой точки на прямую. поэтому надо найти длину перпендикуляра. пусть длина перпендикуляра равна x, тогда длина наклонной равна y. составим систему уравнений, учитывая, что x + y = 17, а y - x = 1

 

x + y = 17                                                  2y = 18                                              y = 9

y - x = 1                                                          y - x = 1                                            x = 8

 

длина перпендикуляра равна 8, поэтому и искомое расстояние тоже равно 8.

Т.к.периметры относятся как 7: 5, то и стороны относятся как 7: 5, т.к.треугольники авс и а1в1с1 подобны. пусть ав и а1в1 - меньшие стороны, тогда ав/а1в1=х/(36-х)=7/5, это пропорция;   5х=7(36-х); 5х=36*7-7х;   12х=36*7 l: 12; х=3*7; х=21см=ас; стороны относятся как  3: 7: 8, значит меньшая ас=3ч.(части); 1ч.=21/3= 7см; ав=7ч.=49 см; вс=8ч.=56 см; в тр-ке а1в1с1 меньшая сторона=3ч.=36-21=15 см; 1ч=5см; а1в1=7ч.=35 см; в1с1=8ч.=40см. ответ: тр-к авс: 21см; 49см; 56см. тр-к а1в1с1: 15см;   35см;   40см. проверка: равс=126см; ра1в1с1=90см; 126/90=7/5; все верно.