Из одной точки проведены две наклонные к плоскости, образующие между собой угол β, а с плоскостью - углы, равные ф. найдите угол между их проекциями на эту плоскость.

Обозначим наклонные a, т.к. наклонные образуют с плоскостью равные углы и проведены из одной точки, то эти наклонные т.к. перпендикуляр, опущенный на плоскость, с одной стороны = a*sin(ф) = b*sin(ф) = h => a=b их проекции тоже равны  (обозначим  отрезок, соединяющий концы наклонных на плоскости (с) искомый угол ( угол между наклонной и плоскостью угол между наклонной и ее из прямоугольного треугольника по определению косинуса можно записать:   p = a*cos(ф) по т.косинусов c^2 = 2*a^2 - 2*a^2*cos(β) =  2*a^2*(1 - cos(β)) c^2 = 2*p^2 - 2*p^2*cos(x) =  2*p^2*(1 - cos(x)) =  2*a^2*(cos(ф))^2 * (1 - cos(x)) эти равенства можно 1 - cos(x) =  (1 - cos(β) /  (cos(ф))^2 cos(x) = 1 -  (1 - cos(β) /  (cos(ф))^2 угол равен арккосинусу этого

Треугольник авс, ав=вс=ас=6, радиус вписанной=сторона*корень3/6=6*корень3/6=корень3, тк касательная , т- точка пересечения с ав, к- пересечение с вс, считаем что тк параллельна ас (другие случаи не рассматриваем, а вообще-то рисунок есть? , как она касательная проводим радиусы пенрпендикулярные в точки касания, ое - на ав, ом-на вс, он - на тк, уголеом=360-90-90-уголв=360-90-90-60=120, ов биссектриса угла : еом и угла в, уголном=1/2углаеом=120/2=60, проводим ок, треугольник онк=треугольник ком как прямоугольные по катету (он=ом=радиус) и гипотенузе ок-общая уголнок=уголком=уголном/2=60/2=30, ам-медиана, высота, биссектриса, вм=см=вс/2=6/2=3, нк=км как касательные проведенные из одной точки, нк=км=он*tg30=корень3*корень3/3=1, вк=вм-км=3-1=2=вт, нк=нт=1, тк=1+1=2, периметр твк=2+2+2=6

При наложении двух окружностей наибольший размер общей части находится на прямой. соединяющей центры этих окружностей. если соединить центры этих окружностей, получим треугольник со сторонами 2 и1, и углом между ними 120 градусов. третья сторона и есть искомая линия. для её определения можно использовать два способа: а) достроить треугольник до прямоугольного и по пифагору найти гипотенузу, б) найти сторону по формуле косинусов:     c = √(a²+b²-2abcos c) = √(2²+1²-2*2*1*(-0.5)) = √7 = 2,645751 отсюда окружность максимального радиуса между двух образованных полукругов: r = (2+1-2,645751) / 2 = 0,177124.