Продолжение высот остроугольного треугольника abc пересекают описанную окружность этого треугольника в точках m n k.докажите что биссектрисы треугольника mnk лежат на прямых am, bh , ck

Ну вот к примеру углы ckm и сам равны - это вписанные углы, опирающиеся на дугу cm. так же и вписанные  углы cbn и  ckn равны - они опираются на дугу cn. так как am перпендикулярно bc, угол cam = 90 ° - угол acb.так как bn перпендикулярно ac, угол cbn = 90° - угол acb. то есть углы cam и  cbn равны, поэтому равны углы ckm и  ckn, то есть kc - биссектриса угла nkm, чтд. само собой, с остальными углами та же : )

Чертим отрезок ав, от его концов проводим параллеьно отрезки аа1 и вв1, чертим отрезок а1в1 так, чтобы он на "тетрадном поле" пересекался с отрезком ав. точку пересечения обозначаем о. через отрезок а1в1 проводим плоскость  α. решение: 1)  тр а1оа и тр в1ов подобны по двум углам (уг оаа1 = уг овв1; уг оа1а = уг ов1в   -  как соответственные при aa1||bb1   и секущей ов и ов1 соответственно при кажной паре углов) ⇒ а1о / в1о = оа / ов = аа1 / вв1 = k     k=  а1о / в1о = (3+2) / 5 =  5/2 (по данным условия ) 2) из условия аа1 = 35  -  вв1     из 1) получаем:   35-вв1 / вв 1 = 5/2 5 *вв1 = 2(35-вв1) 5  вв1 = 70 - 2  вв1 7 вв1= 70 вв1= 10  аа1= 35-10 аа1=25

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.  проведем вторую (короткую) диагональ ромба.  две диагонали разделили   ромб    на 4 равных  прямоугольных треугольника, т.к. в ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и, как в любом параллелограмме, точкой пересечения делятся пополам.  в каждом из них гипотенуза равна стороне ромба, а длинный катет равен половине известной диагонали.  пусть половина неизвестной диагонали равна х. по т.пифагора  х²=65²-60²=625 х=25 вторая диагональ равна 25*2=50 s=50*120: 2=3000 ед. площади.  (можно вычислить площадь одного треугольника и результат умножить на 4)