Как доказать что в правильном восьмиугольнике существуют три параллельные диагонали

Да, существуют, только не три, а четыре пары параллельных диагоналей, так как в правильном восьмиугольнике четыре пары параллельных сторон. при соединении вершин этих сторон и получаются параллельные диагонали в виде сторон прямоугольников. для доказательства их параллельности нужно именно это и доказать, используя величины углов. угол восьмиугольника имеет величину 180*(8-2)/8 = 135 градусов, а между стороной и радиусом 135/2 = 67,5 градусов. так как диагональ опирается на угол 360*3/8 = 135 градусов, то угол между диагональю и радиусом = (180-135) / 2 = 22,5 градуса итак, угол в четырёхугольнике между стороной и диагональю составляет 67,5 + 22,5 = 90 градусов. и так можно доказать по всем углам. значит, эти диагонали являются сторонами прямоугольника, а стороны прямоугольника - параллельны.

Треугольники авс и а1в1с а1в1 / ав = а1с / ас = в1с / вс а1в1 = ав * а1с / ас  1)  aa1 / ac = 2 / 3 =>   aa1 это 2 части, ас это 3 части, на а1с остается 1 => a1b1 = 15*1 / 3 = 5  2)  aa1 / a1c = 5 / 3 =>   aa1 это 5 частей, а1с это 3 части, ас = аа1+а1с = 8    => a1b1 = 8*3 / 8 = 3  4)  => a1b1 = b*c / (aa1+a1c) =  b*c / (a+c)  а1в1 / ав = в1с / вс  а1в1 = ав * в1с / вс  3)  => a1b1 = 4*10 / 5 = 8 

это только на вид - : )

диагонали образуют с основаниями 2 равнобедренных прямоугольных треугольника.

проведите через точку пересечения диагоналей высоту трапеции - она "состоит" из 2 отрезков, каждый из которых - высота (она же - медиана) в  равнобедренном прямоугольном треугольнике, то есть каждая из этих "частей" высоты трапеции равна половине основания (ну, отрезок от точки пересечения диагоналей до большого основания равен половине большого основания, - как медиана в прямоугольном треугольнике : ), и аналогично - с малым). остается сложить : ).