Вцилиндр вписана правильная треугольная призма, сторона основания которой равна 2 корня из 3 см, а диагональ осевого сечения цилиндра наклонена к основанию цилиндра под углом 60 градусов. найдите объем цилиндра.

Очевидно , высота равна 4. деествительно, треугольник из вершины пирамиды, центра основания и любой вершины основания - прямоугольный, с углом 30 градусов при основании. противоположный катет ( высота пирамиды) равен половине гипотенузы ( боковое ребро) и ,стало быть, равен 4. по тереме пифагора, половина диагонали квадрата основания вычисляется и равна  4sqrt(3). сторона основания, тоже по теореме п. ,равна 4sqrt(6). площадь основания 96. высота боковой грани ( все по той же теореме п.) sqrt(64-4*6)=sqrt(40). площадь боковой грани 1/2*sqrt(40) *4*sqrt(6)=2*sqrt(40*6) =8*sqrt(15).  площадь боковой поверхности : 96+32*sqrt(15) ответ: высота 4,площадь боковой поверхности : 96+32*sqrt(15) - означает взятие корня квадратного.

Априори, здесь возможны два случая - внешний угол является смежным с одним из двух углов при основании равнобедренного треугольника или с третьим  углом, который лежит напротив основания. допустим, внешний угол является смежным с одним из углов при основании. тогда соответствующий угол при основании равен 180-80=100 градусов. так как в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то другой угол при основании тоже будет равен 100 градусов. очевидно, что данный случай невозможен, так как угол, равный 100 градусам является тупым, а в треугольнике не может быть больше одного тупого угла. следовательно, данный нам  внешний угол является смежным с внутренним  углом треугольника, который лежит против основания. значит, соответствующий внутренний угол треугольника равен 180-80=100 градусов. сумма всех внутренних углов треугольника равна 180 градусов, значит, сумма двух углов при основании равна 180-100=80 градусов. так как углы при основании равны, то каждый из них равен 80: 2=40 градусов. ответ: углы треугольника равны 100 градусов, 40 градусов и 40 градусов.